اگر $ \nu \ll \mu$ و $\nu \perp \mu $ آنگاه $\nu \equiv 0 $

Question

فرض کنید $ \nu \ll \mu$ و $\nu \perp \mu $ ثابت کنید $\nu \equiv 0 $ .

که $ \mu $ یک اندازه مثبت روی $(X,\mathcal M) $ و $\nu $ یک اندازه علامت دار است.

Answer 1

فرض کنید $ X=E\cup F $ و $E\cap F=\emptyset $ که $E $ مجموعه ای $ \nu $ -پوچ و $F $ مجموعه ای $ \mu $ -پوچ است آنگاه برای هر $A\in\mathcal M $ داریم: $$ \nu(A)=\nu(A\cap E)+\nu(A\cap F)=0+0=0 $$ $ \nu(A)=\nu(A\cap E)=0 $ چون $E $ مجموعه ای $\nu $ -پوچ است و $\nu(A\cap F)=0 $ زیرا $ F $ مجموعه ای $\mu $ -پوچ است و $\nu \ll \mu $ .