اگر $\tau_1$ و $\tau_2$ به ترتیب توپولوژی های هاسدورف و فشرده روی $X$ باشند که $\tau_1\subset \tau_2$ آنگاه $\tau_1=\tau_2$

Question

فرض کنید $(x، \tau_1)$فضای هاسدورف و فشرده باشد و $(x، \tau_2) $ هاسدورف باشد و $ \tau_2 \subseteq \tau_1$ ثابت کنید $ \tau _1= \tau _2$

Comments

لطفا راهنمای تایپ را بخوانید و سپس سوال را ویرایش کنید. $x_i$  را باید به صورت x_i بنویسید.
عنوان هم جالب نیست!

Answer 1

فرض کنید $\tau_1$ و $\tau _2$ دو توپولوژی روی مجموعه $X$ باشند به طوریکه $\tau_1$ هاسدورف و $\tau_2$ هاسدورف فشرده باشد که $\tau_1\subset \tau_2$نشان می دهیم که $\tau_1=\tau_2$:

فرض کنید مجموعه $F$ مجموعه ای $\tau_2$ -بسته باشد در اینصورت $\tau_2$ -فشرده است و چون $\tau_1\subset\tau_2$ پس $F$ مجموعه ای $\tau_1$ فشرده است. اما چون $\tau_1$ هاسدورف است لذا $F$ مجموعه ای $\tau_1$- بسته است.

Comments

مرسی از پاسختون ولی چطور نشون بدم که تاو یک عضو تاو دو هست و چطور نشون بدم که تاو دو عضو تاو یک هست و از این نتیجه بگیرم که تاو یک با تاو دو برابره
ممنون میشم کمک کنین واقعا ضروریه

---

طبق فرض $\tau_1\subset \tau_2$
حال اگر $U\in\tau_2$ در اینصورت متمم آن $F:=U^c$ مجوعه ای $\tau_2$-بسته است که ما هم نشان دادیم در اینصورت $F:=U^c$ مجموعه ای $\tau_1$ -بسته است پس متم آن یعنی $U$ باز است لذا $U\in \tau_1$

---

@6arif همانگونه که @fardina در پاسخ دیدگاهتان نوشته‌اند، «زیرمجموعه» درست است نه «عضو».

رابطهٔ عضو بودن تنها از یک سمت می‌تواند برقرار باشد. اگر $a\in B$ آنگاه $B\not\in a$. البته برخی ریاضی‌دان‌های یهودی به دلیل‌های متنوع علاقه‌دارند نظریهٔ مجموعه‌های عجیب و غریبی که از حذف برخی اصول طبیعی حاصل می‌شوند را مطالعه کنند که به کار شما مربوط نمی‌شوند.