به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
–1 امتیاز
91 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
نمایش از نو توسط

فرض کنید $(X، \tau )$ یک فضای توپولوژیک است، آنگاه گزاره زیر معادل اند : الف) X فشرده است. ب) هر تور $ \lbrace X_{ \alpha } \rbrace $ در X دارای یک زیر تور همگرا به نقطه ی $x \epsilon X$ است.

دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا عنوان مناسب بنویسید.
باید می نوشتید " یک فضای توپولوژیک فشرده است اگر و تنها اگر هر نتی دارای زیرنتی همگرا باشد"
دارای دیدگاه توسط
میشه لطفا سوالتون رو ویرایش کنید و عنوان رو که گفتم عوض کنید؟
دارای دیدگاه توسط
نباید سوالی که پاسخ گرفته رو پنهان کنید!

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

روش زیر از کتاب Introduction to Banach Space Theory نوشته Megginson است.

تعریف: فرض کنید $(x_\alpha)$ یک نت در فضای توپولوژیک $X$ و $x\in X$ باشد. در اینصورت گوییم نت $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود و $x$ را یک نقطه انباشتگی نت $(x_\alpha)$ گوییم هرگاه به ازای هر امسایگی $U$ از $x$ و هر $\alpha\in I$ یک $\beta\in I$ باشد(که وابسته به $U$ و $\alpha$ است) به طوریکه $\alpha \preceq \beta$ و $x_\beta\in U$. (توجه کنید منظور از $I$ همان مجموعه جهت دار در تعریف نت است).

گزاره: یک نت در یک فضای توپولوژیکی در یک نقطه انباشته می شود اگر و تنهااگر آن نت دارای زیر نتی همگرا به آن نقطه باشد.

اثبات: فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی در یک فضای توپولوژیک باشد. اگر $(x_\alpha)$ دارای زیرنتی همگرا به نقطه ای مثل $x$ باشد در اینصورت آن زیر دنباله در $x$ انباشته می شود(چرا؟) و لذا $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود(چرا؟)

برعکس فرض کنید $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته شود. $J$ را گردایه شامل تمام زوج های $(\alpha,U)$ بگیرید به طوریکه $\alpha\in I$ و $U$ یک همسایگی $x$ شامل عنصر $x_\alpha$ باشد. رابطه ی $(\alpha_1,U_1) \preceq (\alpha_2,U_2)$ را به صورت $\alpha_1 \preceq \alpha_2$ و $U_1\supset U_2$ تعریف کنید. در اینصورت $J$ یک مجموعه جهت دار است(چرا؟) برای هر $(\alpha,U)\in J $ قرار دهید $g(\alpha,U)=\alpha$ در اینصورت $x_{g(\alpha,U)}=\alpha$ یک زیر نت $x_\alpha$ است که به $x$ همگراست.

حال ثابت می کنیم که فضای توپولوژیک $X$ فشرده است وگر و تنها اگر هر نتی دارای زیرنتی همگرا باشد.

فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی باشد که دارای زیرنت همگرا نیست یعنی نقطه انباشتگی نداشته باشد در اینصورت به ازای هر $x\in X$ همسایگی $U_x$ از $x$ و $\alpha_x$ موجود است که برای $\alpha_x\preceq \beta$ داریم $x_\beta\notin U_x$. در اینصورت گردایه ی ${U_x:x\in X}$ یک پوشش باز از فضاست لذا دارای زیر پوشش متناهی مثل $U_{x_1},U_{x_2},...,U_{x_n}$ است که تناقض است چرا که برای $\alpha_{x_1},...,\alpha_{x_n}\preceq \beta$ داریم $x_\beta\notin U_{x_1}\cup ...\cup U_{x_n}$ .

برعکس فرض کنید $X$ فشرده نباشد یعنی دارای پوشش بازی مثل $ \mathcal O$ باشد که دارای زیرپوشش متناهی نباشد. می توان فرض کرد این پوشش تحت اجتماع متناهی بسته است. حال $\mathcal O$ را با تعریف کردن رابطه $U\preceq V$ به صورت $U\subset V$ به مجموعه ای جهت دار تبدیل کنید. حال نت $(x_U)$ را به صورت $x_U\in X\setminus U$ تعریف کنید. در اینصورت برای $U_1\preceq U_2$ داریم $x_{U_2}\notin U_1$ که نتیجه می دهد این نت دارای نقطه انباشتگی نیست(چرا؟)

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...