فرض کنید $A$ و $B$ دو مجموعه فشرده در فضای متریک $(M, d)$ باشند نشان می دهیم $A\cup B$ نیز فشرده است.
فرض کنید $\{U_i\}_{i\in I}$ یک پوشش باز دلخواه از $A\cup B$ باشد. در اینصورت پوشش بازی از مجموعه های $A$ و $B$ نیز هست. چون $A$ فشرده است پس زیرپوشش متناهی مثل $U_{i_1},U_{i_2},\cdots , U_{i_m}$ برای $A$ وجود دارد و به همین ترتیب برای $B$ نیز زیرپوشش متناهی
$ U_{j_1},U_{j_2},\cdots , U_{j_n} $ می توان یافت. لذا $U_{i_1},U_{i_2},\cdots , U_{i_m}, U_{j_1},U_{j_2},\cdots , U_{j_n}$ یک زیرپوشش متناهی برای $A\cup B$ است.
