روش زیر از کتاب Introduction to Banach Space Theory نوشته Megginson است.
تعریف: فرض کنید $(x_\alpha)$ یک نت در فضای توپولوژیک $X$ و $x\in X$ باشد. در اینصورت گوییم نت $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود و $x$ را یک نقطه انباشتگی نت $(x_\alpha)$ گوییم هرگاه به ازای هر امسایگی $U$ از $x$ و هر $\alpha\in I$ یک $\beta\in I$ باشد(که وابسته به $U$ و $\alpha$ است) به طوریکه $\alpha \preceq \beta$ و $x_\beta\in U$. (توجه کنید منظور از $I$ همان مجموعه جهت دار در تعریف نت است).
گزاره: یک نت در یک فضای توپولوژیکی در یک نقطه انباشته می شود اگر و تنهااگر آن نت دارای زیر نتی همگرا به آن نقطه باشد.
اثبات: فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی در یک فضای توپولوژیک باشد. اگر $(x_\alpha)$ دارای زیرنتی همگرا به نقطه ای مثل $x$ باشد در اینصورت آن زیر دنباله در $x$ انباشته می شود(چرا؟) و لذا $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته می شود(چرا؟)
برعکس فرض کنید $(x_\alpha)$ در $x$ انباشته شود. $J$ را گردایه شامل تمام زوج های $(\alpha,U)$ بگیرید به طوریکه $\alpha\in I$ و $U$ یک همسایگی $x$ شامل عنصر $x_\alpha$ باشد. رابطه ی $(\alpha_1,U_1) \preceq (\alpha_2,U_2)$ را به صورت $\alpha_1 \preceq \alpha_2$ و
$U_1\supset U_2$ تعریف کنید. در اینصورت $J$ یک مجموعه جهت دار است(چرا؟) برای هر $(\alpha,U)\in J $ قرار دهید $g(\alpha,U)=\alpha$ در اینصورت $x_{g(\alpha,U)}=\alpha$
یک زیر نت $x_\alpha$ است که به $x$ همگراست.
حال ثابت می کنیم که فضای توپولوژیک $X$ فشرده است وگر و تنها اگر هر نتی دارای زیرنتی همگرا باشد.
فرض کنید $(x_\alpha)$ نتی باشد که دارای زیرنت همگرا نیست یعنی نقطه انباشتگی نداشته باشد در اینصورت به ازای هر $x\in X$ همسایگی $U_x$ از $x$ و $\alpha_x$ موجود است که برای
$\alpha_x\preceq \beta$ داریم $x_\beta\notin U_x$. در اینصورت گردایه ی $\{U_x:x\in X\}$ یک پوشش باز از فضاست لذا دارای زیر پوشش متناهی مثل $U_{x_1},U_{x_2},...,U_{x_n}$ است که تناقض است چرا که برای
$\alpha_{x_1},...,\alpha_{x_n}\preceq \beta$
داریم
$x_\beta\notin U_{x_1}\cup ...\cup U_{x_n}$
.
برعکس فرض کنید $X$ فشرده نباشد یعنی دارای پوشش بازی مثل $ \mathcal O$ باشد که دارای زیرپوشش متناهی نباشد. می توان فرض کرد این پوشش تحت اجتماع متناهی بسته است. حال $\mathcal O$ را با تعریف کردن رابطه $U\preceq V$ به صورت $U\subset V$ به مجموعه ای جهت دار تبدیل کنید. حال نت $(x_U)$ را به صورت $x_U\in X\setminus U$ تعریف کنید. در اینصورت برای $U_1\preceq U_2$ داریم $x_{U_2}\notin U_1$ که نتیجه می دهد این نت دارای نقطه انباشتگی نیست(چرا؟)
