می دانیم تعداد زیر مجموعه های این مجموعه برابر $2^{20}$ است. مجموع اعداد هر زیر مجموعه یا فرد است یا زوج.
برای اینکه مجموع اعداد زوج باشد باید تعداد اعداد فرد حاضر در مجموعه زوج باشد. برای شمارش داریم:
تعداد صفر فرد: پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ جواب است. یعنی $2^{10}$ حالت.
تعداد دو فرد : پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ که دو عدد فرد به آنها اضافه کنیم جواب است. یعنی $2^{10} \times {10\choose{2}}$ حالت.
تعداد چهار فرد : پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ که دو عدد فرد به آنها اضافه کنیم جواب است. یعنی $2^{10} \times {10\choose{4}}$ حالت.
.
.
.
پس تعداد مجموع زوج برابر است با $$2^{10} \times {10\choose{0}}+2^{10} \times {10\choose{2}}+\ldots +2^{10} \times {10\choose{10}} =2^{10} ( {10\choose{0}}+ {10\choose{2}}+\ldots + {10\choose{10}}) $$
حال اگر تعداد با مجموع فرد را حساب کنیم حاصل
$$2^{10} \times {10\choose{1}}+2^{10} \times {10\choose{3}}+\ldots +2^{10} \times {10\choose{9}}=2^{10} ( {10\choose{1}}+ {10\choose{3}}+\ldots + {10\choose{9}}) $$
اما از آنجایی که همواره
$${n\choose{0}}+ {n\choose{2}}+\ldots = {n\choose{1}}+ {n\choose{3}}+\ldots $$
پس این دو عبارت برابرند و طبق آنچه در ابتدا گفته شد مجموع آنها یعنی تمام زیر مجموعه ها برابر $2^{20}$ است. پس هر کدام $ \frac{2^{20}}{2} $ هستند.
