به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
57 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

چند زیر مجموعه از مجموعه $ \lbrace 1,2,3,...,20\rbrace $ وجود دارد که مجموع اعضای آنها عددی زوج باشد؟

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط
پاسخ سوال رو $ ۲^{۱۹} $ بدست آوردم.روش بدست آوردن مثال زدن با مجموعه های۳و۴و۵ عضوی بوده متوجه شدم که نصف زیر مجموعه ها مجموع اعضای آنها زوج و نصف دیگر فرد هستند.دنبال اثبات ریاضی هستم.ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

می دانیم تعداد زیر مجموعه های این مجموعه برابر $2^{20}$ است. مجموع اعداد هر زیر مجموعه یا فرد است یا زوج.

برای اینکه مجموع اعداد زوج باشد باید تعداد اعداد فرد حاضر در مجموعه زوج باشد. برای شمارش داریم:

تعداد صفر فرد: پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ جواب است. یعنی $2^{10}$ حالت.

تعداد دو فرد : پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ که دو عدد فرد به آنها اضافه کنیم جواب است. یعنی $2^{10} \times {10\choose{2}}$ حالت.

تعداد چهار فرد : پس تمام زیر مجموعه های از مجموعه $\{2,4,\ldots, 20\}$ که دو عدد فرد به آنها اضافه کنیم جواب است. یعنی $2^{10} \times {10\choose{4}}$ حالت. . . . پس تعداد مجموع زوج برابر است با $$2^{10} \times {10\choose{0}}+2^{10} \times {10\choose{2}}+\ldots +2^{10} \times {10\choose{10}} =2^{10} ( {10\choose{0}}+ {10\choose{2}}+\ldots + {10\choose{10}}) $$

حال اگر تعداد با مجموع فرد را حساب کنیم حاصل $$2^{10} \times {10\choose{1}}+2^{10} \times {10\choose{3}}+\ldots +2^{10} \times {10\choose{9}}=2^{10} ( {10\choose{1}}+ {10\choose{3}}+\ldots + {10\choose{9}}) $$

اما از آنجایی که همواره $${n\choose{0}}+ {n\choose{2}}+\ldots = {n\choose{1}}+ {n\choose{3}}+\ldots $$ پس این دو عبارت برابرند و طبق آنچه در ابتدا گفته شد مجموع آنها یعنی تمام زیر مجموعه ها برابر $2^{20}$ است. پس هر کدام $ \frac{2^{20}}{2} $ هستند.

دارای دیدگاه توسط
خیلی ممنون که مثل همیشه باحوصله جواب سوالات رو می دهید.
اگر بگویند در چند زیر مجموعه غیر تهی باید جواب فوق را منهای ۱ بکنیم؟
سپاس
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...