سلام به طور کلی برای مجموعه ناتهی $ A = \lbrace x_1, x_2, ..., x_n\rbrace $ حاصل این جمع برابر با مقدار $2^{n-1}(x_1 + x_2 + ... + x_n)$ می شود.این موضوع بدین شیوه اثبات می شود :
می خواهیم بدانیم در چند زیر مجموعه از A عضو $x_i$ وجود دارد. برای حساب این عدد می توان گفت زیرمجموعه باید شامل $x_i$ باشد . $n-1$ عضو دیگر مجموعه هر کدام می توانند در زیرمجموعه باشند یا نباشند. پس دوحالت دارند . پس می توان گفت تعداد زیر مجموعه هایی که $x_i$ در آن ها حضور دارد برابر با $2^{n-1}$ است .به عبارت دیگر تعداد زیرمجموعه هایی که عضوی مشخص مثلا 1 در آن ها وجود دارد برابر با $2^{n-1}$ است. پس مجموع تمام زیر مجموعه ها برابر با $$2^{n-1}x_1 + 2^{n-1}x_2 + ... + 2^{n-1}x_n = 2^{n-1}(x_1 + x_2 + ... + x_n)$$ می باشد. پس پاسخ سوال شما برابر $2^4\times(1+2+3+4+5)$ می باشد.
این روش و پاسخ رو در سایت زیر دیدم:
http://stackoverflow.com/questions/29281979/finding-the-sum-of-all-subsets-of-a-given-set
