اثبات حد خارج قسمت چند جمله ای ها

Question

سلام لطفا قضیه زیر را اثبات کنید.

Answer 1

می دانیم اگر $\lim_{x\to c}F_1(x)=L_1$ و $\lim_{x\to c}F_2(x)=L_2$ در اینصورت $\lim_{x\to c}\frac{F_1(x)}{F_2(x)}=\frac {L_1}{L_2}$ به شرطی که $L_2\neq 0$. (خودتان همچین سوال را پرسیده بودید قبلا http://math.irancircle.com/13196)

همچنین می دانیم اگر $f$ یک چندجمله ای باشد آنگاه $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ ( این را هم قبلا پرسیده بودید http://math.irancircle.com/13212)

پس اگر $f$ و $g$ چند جمله ای باشند در اینصورت $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ و $\lim_{x\to c}g(x)=g(c)$ . (در اینجا $f(c)$ و $g(c)$ همان نقش $L_1$ و $L_2$ در قضیه حد تقسی دو تابع را دارند) لذا اگر $g(c)\neq 0$ آنگاه بنابر قضیه حد تقسیم دو تابع داریم $\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac {f(c)}{g(c)}$