حد $ \lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{8^n+9^n}$

Question

سلام لطفا شرح دهید چرا این تساوی ها برابر میشن؟

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{8^n+9^n}=?$$

Comments

چرا عنوان رو نوشته بودید "حد لگاریتمی"؟

Answer 1

روش حل که گذاشته شده از قضیه زیر استفاده شده :

قضیه : هر گاه دنباله $ \lim_{x \rightarrow \infty }a_n=l $ وتابع $f $ در $ l$ پیوسته باشد آنگاه : $\lim_{n \rightarrow \infty }f(a_n)=f(l)$

حالا سوال :

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{9^n+8^n}= ?$$

ابتدا از $9^n$ فاکتوری میگیریم و اونو میاریم بیرون رادیکال :

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{9^n(1+(\frac{8}{9})^n)}= ?$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty } 9 (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= ?$$

حالا استفاده از قضیه بالا : $$f(x):= \sqrt[n]{x} $$ $$a_n:=1+(\frac{8}{9})^n$$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} 1+(\frac{8}{9})^n= \lim_{x \rightarrow +\infty}1 +\lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{8}{9})^n=1$$

در نتیجه :

$$\lim_{n \rightarrow \infty } (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= f(1)$$

در آخر داریم :

$$\lim_{n \rightarrow \infty } 9 (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= \lim_{n \rightarrow \infty } 9 \times \lim_{n \rightarrow \infty } (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})\\ =9\times f(1)=9 $$