روش حل که گذاشته شده از قضیه زیر استفاده شده :
قضیه : هر گاه دنباله $ \lim_{x \rightarrow \infty }a_n=l $ وتابع $f $ در $ l$ پیوسته باشد آنگاه : $\lim_{n \rightarrow \infty }f(a_n)=f(l)$
حالا سوال :
$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{9^n+8^n}= ?$$
ابتدا از $9^n$ فاکتوری میگیریم و اونو میاریم بیرون رادیکال :
$$\lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{9^n(1+(\frac{8}{9})^n)}= ?$$
$$\lim_{n \rightarrow \infty } 9 (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= ?$$
حالا استفاده از قضیه بالا :
$$f(x):= \sqrt[n]{x} $$
$$a_n:=1+(\frac{8}{9})^n$$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} 1+(\frac{8}{9})^n= \lim_{x \rightarrow +\infty}1 +\lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{8}{9})^n=1$$
در نتیجه :
$$\lim_{n \rightarrow \infty } (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= f(1)$$
در آخر داریم :
$$\lim_{n \rightarrow \infty } 9 (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})= \lim_{n \rightarrow \infty } 9 \times \lim_{n \rightarrow \infty } (\sqrt[n]{1+(\frac{8}{9})^n})\\ =9\times f(1)=9 $$
