به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
371 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

با سلام من سوالی داشتم از تغییر متغیر در حد که استفاده میکنیم .

اگر : $$\lim \limits_{x\to a}g(x)=b,$$ ثابت کنید که : $$\lim \limits_{x\to a}f(g(x))=\lim \limits_{g(x)\to b}f(g(x))$$

الیته خودم فکر نمیکنم در حالات کلی درست باشد . ممنون میشم اگر قضیه کلیشو با فرض هایی که داره ( به صورت آنالیزی ) بیان کنید و بگید که چگونه اثبات میشود .

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ

در حالت کلی از $$\lim_{x\to a}g(x)=b\\ \lim_{y\to b}f(y)=c$$ نمی توان نتیجه گرفت که $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)$ .

به عنوان مثال اگر $g(x)=0$ و $$f(x)=\begin{cases}1&x\neq 0\\ 0&x=0\end{cases}$$

در اینصورت $\lim_{x\to a}g(x)=0$ به ازای هر $a$ و $ \lim_{y\to 0}f(y)=1 $ در حالیکه $$\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to a}f(0)=\lim_{x\to a}0=0$$

با این حال اگر $f$ در $b$ پیوسته باشد برابری درست خواهد بود. به اینجا نگاه کنید.


ویرایش بعد از دیدگاه شما:

برای حالتی که $\lim_{x\to \infty}g(x)=b$و $f$ در $b$ پیوسته باشد بازهم با تغییر کمی در اثبات موجود در لینکی که بالا گذاشتم ثابت میشه که $\lim_{x\to \infty}f(g(x))=\lim_{x\to b}f(x)$

برای حالتی که $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ و $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ آنگاه باز هم می توان ثابت کرد $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to \infty}f(x)=c$

اثبات: فرض کنید $\varepsilon>0$ داده شده باشد چون $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ پس $$\exists N\ :\ \forall x\geq N\implies |f(x)-c|< \varepsilon$$ و چون $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ لذا متناظر با $N$ یافت شده $$\exists \delta>0\ : \ \forall 0< |x-a|< \delta\implies g(x)> N$$

در اینصورت برای $\delta$ ی یافت شده چنانچه $|x-a|< \delta$ خواهیم داشت $|f(g(x))-c|< \varepsilon$ .

و در نهایت چنانچه $a,b,c$ نیز هر سه بی نهایت شوند باز حکم برقرار خواهد بود.

دارای دیدگاه توسط
@fardina
ممنون بابت پاسخ . اگر $a,b$  بینهایت باشند چگونه میشود ؟
دارای دیدگاه توسط
+1
@amirm20
لطفا ویرایش رو ببینید.
دارای دیدگاه توسط
–1
@fardina
ممنون . اما در ترکیب توابع که ذکر کردید . به ایکس به سمت یک عدد میرود  اما در تغییر متغیر یک تابع به چیزی میل میکند چرا اینهارو با هم معادل گرفتید ؟
دارای دیدگاه توسط
@amirm20
خوب مثلا در $\lim_{x\to 1}\sin (x-1)$ اگر قرار دهید $g(x)=x-1$ در اینصورت $\lim_{x\to 1}\sin (g(x))=\lim_{y\to 0}\sin (y)$ چرا که $\sin$ پیوسته است و $\lim_{x\to 1}x-1=0$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...