در حالت کلی از
$$\lim_{x\to a}g(x)=b\\ \lim_{y\to b}f(y)=c$$
نمی توان نتیجه گرفت که $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to b}f(y)$ .
به عنوان مثال اگر $g(x)=0$ و
$$f(x)=\begin{cases}1&x\neq 0\\ 0&x=0\end{cases}$$
در اینصورت $\lim_{x\to a}g(x)=0$ به ازای هر $a$ و $ \lim_{y\to 0}f(y)=1 $ در حالیکه
$$\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to a}f(0)=\lim_{x\to a}0=0$$
با این حال اگر $f$ در $b$ پیوسته باشد برابری درست خواهد بود. به اینجا نگاه کنید.
ویرایش بعد از دیدگاه شما:
برای حالتی که $\lim_{x\to \infty}g(x)=b$و $f$ در $b$ پیوسته باشد بازهم با تغییر کمی در اثبات موجود در لینکی که بالا گذاشتم ثابت میشه که $\lim_{x\to \infty}f(g(x))=\lim_{x\to b}f(x)$
برای حالتی که $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ و $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ آنگاه باز هم می توان ثابت کرد $\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{x\to \infty}f(x)=c$
اثبات: فرض کنید $\varepsilon>0$ داده شده باشد چون $\lim_{x\to \infty}f(x)=c$ پس
$$\exists N\ :\ \forall x\geq N\implies |f(x)-c|< \varepsilon$$
و چون $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$ لذا متناظر با $N$ یافت شده
$$\exists \delta>0\ : \ \forall 0< |x-a|< \delta\implies g(x)> N$$
در اینصورت برای $\delta$ ی یافت شده چنانچه $|x-a|< \delta$ خواهیم داشت $|f(g(x))-c|< \varepsilon$ .
و در نهایت چنانچه $a,b,c$ نیز هر سه بی نهایت شوند باز حکم برقرار خواهد بود.
