به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
64 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi
ویرایش شده توسط aria_amirkarimi

در شکل زیر AC وتر مثلث قائمالزاویۀ ABC است، 1= BC =2 ، AB و چهارضلعی DEFG مربع است. در ضمن دایرۀ به مرکز A و شعاع AB از نقطۀ G گذشته است. طول پاره خط DE چقدر است؟ enter image description here

مرجع: چالش هندسه چيتا سوال ١٩

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

چون سه‌گوشِ FEC متشابه سه‌گوش ABC است از قضیهٔ تالس باید عددِ $k$ای وجود داشته باشد که $$FE=k,\;EC=2k,\;FC=\sqrt{5}k$$ و چون چهارگوشِ GDEF مربع است $GD=DE=EF=FG=k$. فرض کنید مبدأ مختصات در نقطهٔ B قرار دارد. مختصات نقطهٔ G برابر است با $$x_G=2-3k,\;y_G=k$$ از طرف دیگر این نقطه بر روی دایرهٔ به مرکز A و شعاع AB قرار دارد. مکان نقطه‌های روی این دایره در برابریِ $(y-1)^2+x^2=1$ صدق می‌کنند پس باید $$(y_G-1)^2+x_G^2=1$$ دو یافتهٔ پیشین با هم نتیجه می‌دهند که $(k-1)^2+(2-3k)^2=1$ با ساده کردن یک برابریِ درجهٔ دو $10k^2-4k+4=0$ داریم. این برابری دو ریشه دارد $$k=0.4,\;k=1$$ که $k=0.4$ مربوط به نقطهٔ G -ِ نمایش داده‌شده در تصویر شماست در حالیکه $k=1$ مربوط به نقطهٔ دیگری است که هم بر روی دایره وجود دارد و هم درازا و پهنایش (طول و عرضش) با هم نسبت خواسته‌شده را دارند که در شکل زیر چپ‌ترین نقطهٔ بالایی است. پس پاسخ پرسش $DE=k=0.4$ است. enter image description here

دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
در عبارت اول كه نوشتيد مگر FC=راديكال 5 نميشود؟
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
@aria_amirkarimi ممنون تصحیح شد، ولی در پاسخ تغییری ایجاد نمی‌کند چون استفاده نشده‌بود.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...