به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
93 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط aria_amirkarimi

در شکل زیر مثلث ABC متساوی الاضلاع است، 5= BD و 3= KD. طول پاره خط AD چقدر است؟ enter image description here

مرجع: چالش هندسه چيتا سوال ٢٠

1 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط MSS
انتخاب شده توسط aria_amirkarimi
 
بهترین پاسخ

enter image description here

طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره برابر جذر 3 ضربدر شعاع است.

$AB=AC=BC=r \sqrt{3} $

DO+OB=5 , KD=3

بنابر قانون کسینوس ها

$KB^{2} = 5^{2} + 3^{2} −2×5×3×cos120$

KB=7

مثلث های KDB , KAC مشابهند در نتیجه

$ \frac{KA}{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

از طرفی $KA+r \sqrt{3} =7$

$ \frac{7-r \sqrt{3} }{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

پس:

$KA= \frac{21}{8} , r = \frac{35}{8 \sqrt{3}} , AB= \frac{35}{8} $

دوباره قانون کسینوسها در مثلث ADB :

$ \frac{35}{8} ^{2} = AD^{2} + 5 ^{2} −2×AD× 5 ×cos60 $

پس:

َAD=1.875

ضمنا یک جواب $ \frac{25}{8} $ هم بدست می آید که صحیح نیست. زیرا با این عدد قانون کسینوس ها در مثلث KDA درست بدست نمی آید.

دارای دیدگاه توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@aria_amirkarimi آقای @MSS از «زاویهٔ روبرو به کمان» برای نمونه مراجعه کنید به
https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87_%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B7%DB%8C
استفاده کرده‌اند.
دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
من بدست آوردن اعداد رو متوجه شدم ولي درباره بدست اوردن ضلع AD با قانون كسينوس رو متوجه نميشم هنوز ميشه اونو در ديدگاه اضاف كنيد؟
دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
این نظر بنده طبق گفته های شما و @MSS هست که در پاسخ جدیدی ارائه کردم . آخرش یک مشکل هست
دارای دیدگاه توسط aria_amirkarimi
طبق فرض مسئله و گفته های @MSS و @AmirHosein
<math>$AB=AC=BC=x$</math>  
.
<math>$AD=y$</math>
.
<math>$ 3= KD $</math>  
.
<math>$ 5= BD $</math>

طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$ KB^{2}= 5^{2} +  3^{2} - 2 \times 5 \times 3 \times cos 120  $</math>
بنابراین <math>$KB=7$</math>   
از آنجا که زوایای دو مثلث  
 <math>$ \bigtriangleup KDB  \bigtriangleup KAC$</math> برابر است ، پس این دو مثلث متشابه اند . داریم :
<math>$ \frac{KD}{KA}= \frac{DB}{AC}   $</math> یا بطور دیگر
<math>$ \frac{3}{7-x}= \frac{5}{x}  $</math> پس <math>$x= \frac{35}{8} $</math>
در مثلث ADB طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$  \big( \frac{35}{8} \big)^{2}= y^{2}+ 5^{2} -2 \times 5 \times  y \times \frac{1}{2}    $</math>
که y دو حاصل <math>$ y_{1}= \frac{15}{8} /  y_{2}= \frac{25}{8}    $</math> دارد مشکل اینجاست که باید کدام را انتخاب کنیم؟پاسخ صحیح <math>$ y_{1} $</math> است.
![enter image description here][1]


  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=2362132928663394746
دارای دیدگاه توسط MSS
+1
عذر خواهم. اصلاح شد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...