به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
975 بازدید
در دبیرستان توسط aria_amirkarimi (90 امتیاز)

در شکل زیر مثلث ABC متساوی الاضلاع است، 5= BD و 3= KD. طول پاره خط AD چقدر است؟ enter image description here

مرجع: چالش هندسه چيتا سوال ٢٠

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط MSS (1,320 امتیاز)
انتخاب شده توسط aria_amirkarimi
 
بهترین پاسخ

enter image description here

طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره برابر جذر 3 ضربدر شعاع است.

$AB=AC=BC=r \sqrt{3} $

DO+OB=5 , KD=3

بنابر قانون کسینوس ها

$KB^{2} = 5^{2} + 3^{2} −2×5×3×cos120$

KB=7

مثلث های KDB , KAC مشابهند در نتیجه

$ \frac{KA}{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

از طرفی $KA+r \sqrt{3} =7$

$ \frac{7-r \sqrt{3} }{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

پس:

$KA= \frac{21}{8} , r = \frac{35}{8 \sqrt{3}} , AB= \frac{35}{8} $

دوباره قانون کسینوسها در مثلث ADB :

$ \frac{35}{8} ^{2} = AD^{2} + 5 ^{2} −2×AD× 5 ×cos60 $

پس:

َAD=1.875

ضمنا یک جواب $ \frac{25}{8} $ هم بدست می آید که صحیح نیست. زیرا با این عدد قانون کسینوس ها در مثلث KDA درست بدست نمی آید.

توسط AmirHosein (9,458 امتیاز)
@MSS چگونه متوجه شدید که زاویهٔ BDC شصت درجه است؟
توسط MSS (1,320 امتیاز)
+2
مثلث ABC متساوی الاضلاع است. پس کمانهای AB=BC=AC=120 و زوایای محاطی برابر 60 درجه هستند
توسط aria_amirkarimi (90 امتیاز)
ویرایش شده توسط aria_amirkarimi
+1
در مثلث ADB مگر ما كسينوس زاويه ADB رو داريم كه بتونيم ضلع AD حساب كنيم؟
توسط AmirHosein (9,458 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@aria_amirkarimi آقای @MSS از «زاویهٔ روبرو به کمان» برای نمونه مراجعه کنید به
https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87_%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B7%DB%8C
استفاده کرده‌اند.
توسط aria_amirkarimi (90 امتیاز)
من بدست آوردن اعداد رو متوجه شدم ولي درباره بدست اوردن ضلع AD با قانون كسينوس رو متوجه نميشم هنوز ميشه اونو در ديدگاه اضاف كنيد؟
توسط aria_amirkarimi (90 امتیاز)
این نظر بنده طبق گفته های شما و @MSS هست که در پاسخ جدیدی ارائه کردم . آخرش یک مشکل هست
توسط aria_amirkarimi (90 امتیاز)
طبق فرض مسئله و گفته های @MSS و @AmirHosein
<math>$AB=AC=BC=x$</math>  
.
<math>$AD=y$</math>
.
<math>$ 3= KD $</math>  
.
<math>$ 5= BD $</math>

طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$ KB^{2}= 5^{2} +  3^{2} - 2 \times 5 \times 3 \times cos 120  $</math>
بنابراین <math>$KB=7$</math>   
از آنجا که زوایای دو مثلث  
 <math>$ \bigtriangleup KDB  \bigtriangleup KAC$</math> برابر است ، پس این دو مثلث متشابه اند . داریم :
<math>$ \frac{KD}{KA}= \frac{DB}{AC}   $</math> یا بطور دیگر
<math>$ \frac{3}{7-x}= \frac{5}{x}  $</math> پس <math>$x= \frac{35}{8} $</math>
در مثلث ADB طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$  \big( \frac{35}{8} \big)^{2}= y^{2}+ 5^{2} -2 \times 5 \times  y \times \frac{1}{2}    $</math>
که y دو حاصل <math>$ y_{1}= \frac{15}{8} /  y_{2}= \frac{25}{8}    $</math> دارد مشکل اینجاست که باید کدام را انتخاب کنیم؟پاسخ صحیح <math>$ y_{1} $</math> است.
![enter image description here][1]


  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=2362132928663394746
توسط MSS (1,320 امتیاز)
+1
عذر خواهم. اصلاح شد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...