مقدار طول وتر درون دايره

Question

در شکل زیر مثلث ABC متساوی الاضلاع است، 5= BD و 3= KD. طول پاره خط AD چقدر است؟

Answer 1

طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره برابر جذر 3 ضربدر شعاع است.

$AB=AC=BC=r \sqrt{3} $

DO+OB=5 , KD=3

بنابر قانون کسینوس ها

$KB^{2} = 5^{2} + 3^{2} −2×5×3×cos120$

KB=7

مثلث های KDB , KAC مشابهند در نتیجه

$ \frac{KA}{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

از طرفی $KA+r \sqrt{3} =7$

$ \frac{7-r \sqrt{3} }{3} = \frac{r \sqrt{3} }{5} $

پس:

$KA= \frac{21}{8} , r = \frac{35}{8 \sqrt{3}} , AB= \frac{35}{8} $

دوباره قانون کسینوسها در مثلث ADB :

$ \frac{35}{8} ^{2} = AD^{2} + 5 ^{2} −2×AD× 5 ×cos60 $

پس:

َAD=1.875

ضمنا یک جواب $ \frac{25}{8} $ هم بدست می آید که صحیح نیست. زیرا با این عدد قانون کسینوس ها در مثلث KDA درست بدست نمی آید.

Comments

@MSS چگونه متوجه شدید که زاویهٔ BDC شصت درجه است؟

---

مثلث ABC متساوی الاضلاع است. پس کمانهای AB=BC=AC=120 و زوایای محاطی برابر 60 درجه هستند

---

در مثلث ADB مگر ما كسينوس زاويه ADB رو داريم كه بتونيم ضلع AD حساب كنيم؟

---

@aria_amirkarimi آقای @MSS از «زاویهٔ روبرو به کمان» برای نمونه مراجعه کنید به
https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%DB%8C%D9%87_%D9%85%D8%AD%D8%A7%D8%B7%DB%8C
استفاده کرده‌اند.

---

من بدست آوردن اعداد رو متوجه شدم ولي درباره بدست اوردن ضلع AD با قانون كسينوس رو متوجه نميشم هنوز ميشه اونو در ديدگاه اضاف كنيد؟

---

این نظر بنده طبق گفته های شما و @MSS هست که در پاسخ جدیدی ارائه کردم . آخرش یک مشکل هست

---

طبق فرض مسئله و گفته های @MSS و @AmirHosein
<math>$AB=AC=BC=x$</math>  
.
<math>$AD=y$</math>
.
<math>$ 3= KD $</math>  
.
<math>$ 5= BD $</math>

طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$ KB^{2}= 5^{2} +  3^{2} - 2 \times 5 \times 3 \times cos 120  $</math>
بنابراین <math>$KB=7$</math>   
از آنجا که زوایای دو مثلث  
 <math>$ \bigtriangleup KDB  \bigtriangleup KAC$</math> برابر است ، پس این دو مثلث متشابه اند . داریم :
<math>$ \frac{KD}{KA}= \frac{DB}{AC}   $</math> یا بطور دیگر
<math>$ \frac{3}{7-x}= \frac{5}{x}  $</math> پس <math>$x= \frac{35}{8} $</math>
در مثلث ADB طبق قانون کسینوس ها داریم :
<math>$  \big( \frac{35}{8} \big)^{2}= y^{2}+ 5^{2} -2 \times 5 \times  y \times \frac{1}{2}    $</math>
که y دو حاصل <math>$ y_{1}= \frac{15}{8} /  y_{2}= \frac{25}{8}    $</math> دارد مشکل اینجاست که باید کدام را انتخاب کنیم؟پاسخ صحیح <math>$ y_{1} $</math> است.
![enter image description here][1]


  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=2362132928663394746

---

عذر خواهم. اصلاح شد.