بدست اوردن بزرگترین زیرمجموعه ای که تفاضل هیچ دو عضو ان عدد اول نباشد

Question

در مجموعه اعداد
$\lbrace۱،۲،۳...،۱۳۸۶\rbrace$
بزرگترین زیرمجموعه ای که تفاضل هیچ دو عضو آن عدد اول نباشد چند عضوی است؟

Answer 1

این زیر مجموعه شامل اعداد ۱۳۸۵ و۱۳۸۱...،۱،۵،۹،۱۳ است که ۳۴۷ عضو دارد. واضح است که تفاضل هر دو عضوی از این زیرمجموعه مضربی طبیعی از ۴ است ، بنابراین تفاضل هیچ دو عضوی اول نیست. فرض خلف میکنیم میتوانیم عضوی به این زیرمجموعه اضافه کنیم و هنوز هم تفاضل هیچ دو عضوی اول نباشد، انگاه قطعا تفاضل این عضو با یکی دیگر از اعضای این زیرمجموعه ۲،۳یا ۵ خواهد بود که هر سه اول هستند، بنابرابن فرض باطل است و جواب همان۳۴۷ است.

Comments

@alineysi اعضایِ مجموعه‌ای که آقای @Mohammadamin نوشته‌اند را به شکلِ $4k-3$ ببینید، $k=1$ نخستین عنصر را می‌دهد و الی آخر. باید دید که برای کدام مقدار از $k$ به عدد ۱۳۸۵ می‌رسیم که برابر با حل‌کردنِ $4k-3=1385$ است که می‌دهد $k=347$. پس ۳۴۷ عضو در این مجموعه است. به نظرم منبع شما جزء‌صحیح تقسیم ۱۳۸۵ یا ۱۳۸۶ بر ۴ را در نظر گرفته‌است ولی این شمارش عدد ۱ شروع مجموعه را جا می‌اندازد و از ۵ شروع به شمردن می‌کند یعنی عناصر مجموعه را به شکل $4k+1$ نگاه کرده‌است بدون دقت به اینکه $k=1$ مقدار ۵ را می‌دهد و برای جا نیانداختنِ عدد ۱ باید $k=0$ را نیز در این حالت بشمارد که بعلاوهٔ یک کردن جزءصحیح مذکور را می‌طلبد.

---

فکر میکنم منظور شما از ۳۷۴ ، ۳۴۷ بوده است که به اشتباه تایپ شده است.

---

باسلام.سوال تستی بوده که دربین گزینه ها عدد ۳۴۷ نبود.حتما اشتباهی در گزینه ها بود.جواب اقای محمد امین درست هست .ممنون از شما دو بزرگوار

---

این پاسخ نادرست است یا حداقل ناقص است زیرا شما فقط برای مجموعه ی پیشنهادی خودتان ثابت کرده اید نمیتوان عضوی اضافه کرد. در صورتیکه باید در حالت کلی ثابت کنید هیچ مجموعه ی 348 عضوی وجود ندارد.

---

@Mahdimoro هر چهار عدد متوالی را یک لانه و یک لانه هم برای دو عدد آخر در نظر بگیرید و ۳۴۸ عددی که می‌خواهید انتخاب کنید را کبوتر، بنابراصل لانهٔ کبوتری دست کم دو عدد از مجموعهٔ شما دارای اختلاف کمتر اکید از ۴ یعنی ۳ یا ۲ یا ۱ خواهند بود. بنابراین مجموعه‌ای که @Mohammadamin معرفی کرده‌اند بهترین حالت است.