بدست اوردن بزرگترین زیرمجموعه ای که تفاضل هیچ دو عضو ان عدد اول نباشد

Question

در مجموعه اعداد
$ \lbrace۱،۲،۳...،۱۳۸۶\rbrace $
بزرگترین زیرمجموعه ای که تفاضل هیچ دو عضو آن عدد اول نباشد چند عضوی است؟

Answer 1

این زیر مجموعه شامل اعداد ۱۳۸۵ و۱۳۸۱...،۱،۵،۹،۱۳ است که ۳۴۷ عضو دارد. واضح است که تفاضل هر دو عضوی از این زیرمجموعه مضربی طبیعی از ۴ است ، بنابراین تفاضل هیچ دو عضوی اول نیست. فرض خلف میکنیم میتوانیم عضوی به این زیرمجموعه اضافه کنیم و هنوز هم تفاضل هیچ دو عضوی اول نباشد، انگاه قطعا تفاضل این عضو با یکی دیگر از اعضای این زیرمجموعه ۲،۳یا ۵ خواهد بود که هر سه اول هستند، بنابرابن فرض باطل است و جواب همان۳۴۷ است.

Comments

ممنون کلی جواب رو ۳۴۶ نوشتن.به نظرم در حساب کردن تعداد عضو اشتباهی صورت گرفته.همون ۳۴۶ بدست می اید

---

دوباره به اعدادی که نوشته اید ، دقت کنید . در دنباله شما عدد انتهایی باید ۱۳۸۶ باشد ، در غیر اینصورت طبق الگوی دنباله دو عضو اخر ۱۳۸۲ و ۱۳۸۴ هستند که اختلاف انها اول است . همچنین اگر عدد اخر ۱۳۸۶ باشد و دنباله از ۲ شروع شود واضح است که همان۳۴۷عضو را داریم ، در واقع شما به تمامی اعضای دنباله ای که بنده در پاسخ ذکر کردم یک واحد افزوده اید ولی تعداد تغییری نمیکند.
اشتباهی در محاسبه جواب نهایی بود که اصلاح شد اما دقت کنید جواب درست ۳۴۷ است ، احتمالا عدد اخر را در نظر نگرفته اید.

---

@alineysi اعضایِ مجموعه‌ای که آقای @Mohammadamin نوشته‌اند را به شکلِ $4k-3$ ببینید، $k=1$ نخستین عنصر را می‌دهد و الی آخر. باید دید که برای کدام مقدار از $k$ به عدد ۱۳۸۵ می‌رسیم که برابر با حل‌کردنِ $4k-3=1385$ است که می‌دهد $k=347$. پس ۳۴۷ عضو در این مجموعه است. به نظرم منبع شما جزء‌صحیح تقسیم ۱۳۸۵ یا ۱۳۸۶ بر ۴ را در نظر گرفته‌است ولی این شمارش عدد ۱ شروع مجموعه را جا می‌اندازد و از ۵ شروع به شمردن می‌کند یعنی عناصر مجموعه را به شکل $4k+1$ نگاه کرده‌است بدون دقت به اینکه $k=1$ مقدار ۵ را می‌دهد و برای جا نیانداختنِ عدد ۱ باید $k=0$ را نیز در این حالت بشمارد که بعلاوهٔ یک کردن جزءصحیح مذکور را می‌طلبد.

---

فکر میکنم منظور شما از ۳۷۴ ، ۳۴۷ بوده است که به اشتباه تایپ شده است.

---

باسلام.سوال تستی بوده که دربین گزینه ها عدد ۳۴۷ نبود.حتما اشتباهی در گزینه ها بود.جواب اقای محمد امین درست هست .ممنون از شما دو بزرگوار

---

این پاسخ نادرست است یا حداقل ناقص است زیرا شما فقط برای مجموعه ی پیشنهادی خودتان ثابت کرده اید نمیتوان عضوی اضافه کرد. در صورتیکه باید در حالت کلی ثابت کنید هیچ مجموعه ی 348 عضوی وجود ندارد.

---

@Mahdimoro هر چهار عدد متوالی را یک لانه و یک لانه هم برای دو عدد آخر در نظر بگیرید و ۳۴۸ عددی که می‌خواهید انتخاب کنید را کبوتر، بنابراصل لانهٔ کبوتری دست کم دو عدد از مجموعهٔ شما دارای اختلاف کمتر اکید از ۴ یعنی ۳ یا ۲ یا ۱ خواهند بود. بنابراین مجموعه‌ای که @Mohammadamin معرفی کرده‌اند بهترین حالت است.