حاصل انتگرالهای $ \int \sqrt{tan \ x} dx $ و $ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } } $

Question

حاصل انتگرالهای زیر را بدست آورید؟

الف) $ \int \sqrt{tan \ x} dx $

ب) $ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } } $

Answer 1

کوتاه ترین روش برای حل اولی (تانژانت) که من پیدا کردم اینه $$y= \int \sqrt{tanx } \ dx \\ g= \int\sqrt{cotx}\ dx\\ y+g=\int \sqrt{tanx}+\sqrt{cotx} \ dx=\sqrt {2}\int\frac{sinx+cosx}{\sqrt{sin2x}}\\ y+g=\sqrt{2}\int \frac {(sinx-cosx)'}{\sqrt{1-(sinx-cosx)^2}}\\ y+g=\sqrt{2}\ \int\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}dx=\sqrt{2}\arcsin(u)\\ *y+g=\sqrt{2}arcsin(sinx-cosx)\\ y-g=\int\sqrt{tanx}-\sqrt{cotx } \ dx =\sqrt{2}\int\frac{sinx-cosx}{\sqrt{sin2x}}\\ y-g=-\sqrt{2}\int\frac{(sinx+cosx)'}{\sqrt{(sinx+cosx)^2-1}} dx =-\sqrt{2}\int\frac{s'}{\sqrt{s^2-1}}\ dx\\ y-g=-\sqrt{2}arcosh(sinx+cosx) * * \\ \frac{(y-g)+(y+g)}{2}=y\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(arcsin(sinx-cosx)-arccosh(sinx+cos)) $$

Answer 2

برای انتگرال ب از رادیکال در مخرج $e^{x} $ را فاکتور میگیریم و ازرادیکال بیرون میبریم داریم: $$ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } }= \int \frac{dx }{ \sqrt{e^{x} ( e^{-x} +1)} } = \int \frac{dx }{e^{ \frac{x}{2} } \sqrt{ ( e^{-x} +1)} }=\int \frac{e^{ \frac{-x}{2} }dx }{ \sqrt{ ( e^{-x} +1)} } $$

حال از تغییر متغییر $ u=e^{ \frac{-x}{2} } ( \Rightarrow u^{2} =e^{ -x })$ استفاده میکنیم لذا داریم: $$du= -\frac{1}{2}e^{ \frac{-x}{2} }dx \Rightarrow e^{ \frac{-x}{2} }dx=-2du $$ لذا داریم: $$ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } }=\int \frac{e^{ \frac{-x}{2} }dx }{ \sqrt{ ( e^{-x} +1)} } = \int \frac{-2du }{ \sqrt{u^{2} +1 } } $$

حال از تغییر متغییر $ u=tan \theta $ استفاده میکنیم داریم: $1+u^{2}=1+tan^{2} \theta =sec^{2} \theta $ و $du= (1+tan^{2} \theta )d \theta =sec^{2} \theta d\theta $ $$ \int \frac{-2du }{ \sqrt{u^{2} +1 } } =-2 \int \frac{sec^{2} \theta d \theta }{ \sqrt{sec^{2} \theta }} =-2\int sec \theta d\theta=-2ln( \mid sec \theta+tan \theta \mid )+C=-2ln( \mid \sqrt{u^{2} +1 }+u \mid )+C$$

Answer 3

کوتاه ترین پاسخ قسمت دوم

$$ y=\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} \\u^2=1+e^x \Longrightarrow du=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}dx \Longrightarrow dx=2\frac{\sqrt{1+e^x}}{e^x} \\ y=2 \int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}\frac{\sqrt{1+e^x}}{e^x}\ du =-2 \int\frac{1}{1-u^2} \ du \\ y=-2arccoth(\sqrt{1+e^x})+C $$

Answer 4

برای حل الف قرار میدهیم : $u= \sqrt{tan \ x} \Rightarrow u^{2} =tan \ x$ لذا داریم: $$2udu=(1+tan^{2}x)dx =(1+ u^{4})dx \Rightarrow dx= \frac{2udu}{1+ u^{4}} $$ لذا انتگرال بصورت زیر در می آید: $$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int u \times \frac{2udu}{1+ u^{4}}=\int \frac{2 u^{2} du}{1+ u^{4}} $$

عبارت $ 2 u^{2} $ را در مخرج یکبار کم و یکبار اضافه میکنیم لذا داریم: $$ \int \frac{ 2u^{2} du}{1+ u^{4}+2 u^{2}-2 u^{2}} = \int \frac{ 2u^{2} du}{(1+ u^{2})^{2}-( \sqrt{2} u)^{2}} = \int \frac{ 2u^{2} du}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}$$

حال کسر را تجزیه میکنیم: $$ \frac{ 2u^{2} }{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}=\frac{ Au+B }{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)}+\frac{ Cu+D}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)} =\frac{ (A+C)u^{3}+(C-A)\sqrt{2}u^{2}+(B+D)u^{2}+(B+D)}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}$$ با مقایسه صورتها و اینکه صورت کسر اول مقدار عددی نداره داریم $(B+D)=0 $ و اینکه $ u^{3} $ نداره لذا $(A+C)=0 \Rightarrow C=-A $ و با مقایسه ی ضرایب $ u^{2} $ داریم $A=-\sqrt{2} $

یعنی انتگرال بصورت جمع دو انتگرال زیر نوشته میشود که هر یک را جداگانه بدست می آوریم و در آخر در کنار هم مینویسیم. $$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} +\int \frac{ \sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}=(i)+(ii) $$

$$(i) \ \ \ \ \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)}= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du=\\ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}-\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du- \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ \sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du$$ که خود این انتگرال به دو انتگرال تبدیل شد هر یک را جدا گانه حساب میکنیم برای محاسبه ی اولی قرار میدهیم : $$w= (1+ u^{2}+ \sqrt{2} u) \Rightarrow dw=(2u+\sqrt{2})du $$ لذا داریم: $$ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ 2u+\sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du= \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{dw}{w}= \frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid w \mid ) =\frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) +C _{1} $$ برای دومی مخرج را مربع کامل میکنیم: $$ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{ \sqrt{2}}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} du=- \int \frac{du}{(u+ \frac{\sqrt{2}}{2} )^{2}+ \frac{1}{2} }= - 2\int \frac{du}{(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1 )^{2}+ 1 } = - 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1) +C _{2}$$

پس انتگرال $ (i) $ برابر است با $$\frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1)+ C _{3}$$ دقیقا بطور مشابه انتگرال دوم حساب می شود لذا داریم:

$$ \int \sqrt{tan \ x} dx = \int \frac{ -\sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}+ \sqrt{2} u)} +\int \frac{ \sqrt{2}udu}{(1+ u^{2}- \sqrt{2} u)}= \frac{-\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}+ \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1)+\frac{\sqrt{2}}{2}ln( \mid 1+ u^{2}- \sqrt{2} u \mid ) + 2tan^{-1}(u\frac{2}{\sqrt{2}}- 1)+C$$