حل انتگرالهای $ \int \frac{ x^{2} +1}{ x^{4} +1} dx $ و $ \int \frac{ dx}{ x(x^{2} +x+1)} $

Question

حاصل انتگرال های زیر را بیابید؟

الف) $ \int \frac{ x^{2} +1}{ x^{4} +1} dx $

ب)$ \int \frac{ dx}{ x(x^{2} +x+1)} $

Comments

لطفا در هر پست فقط یک سوال بپرسید. تا کاربران مشخصا به آن سوال پاسخ بدهند.

Answer 1

برای حل الف آن را به دو انتگرال تبدیل میکنیم که اولی دقیق انتگرال $ \int \sqrt{tan \ x} dx $ است. و دومی با کمی تغییر مشابه آن میشود.

$$ \int \frac{ x^{2} +1}{ x^{4} +1} dx= \int \frac{ x^{2} }{ x^{4} +1} dx+ \int \frac{ 1}{ x^{4} +1} dx $$ مانند تکنیک بکار رفته در حل رادیکال تانژانت، $2x^{2} $ را در مخرج اضافه و کم میکنیم و با تجزیه مخرج و سپس تجزیه کسربه دو انتگرال زیر میرسیم:

$$ \int \frac{ 1}{ x^{4} +1} dx=\frac{ -\sqrt{2} }{2}( \int \frac{ 2x-2 \sqrt{2} }{(1+ x^{2}+ \sqrt{2} x)} dx+\int \frac{ 2x-2 \sqrt{2} }{(1+ x^{2}- \sqrt{2} x)} dx)$$

برای حل انتگرال اولی صورت را بصورت $ 2x-2 \sqrt{2}=2x+\sqrt{2} -3 \sqrt{2} $ مینویسیم و آن را به دو انتگرال تبدیل میکنیم که حاصل یکی $ ln $ مخرج و دومی برابر است با:

$$ \frac{-\sqrt{2}}{2} \int \frac{- 3\sqrt{2}}{(1+ x^{2}+ \sqrt{2} x)} dx=3 \int \frac{dx}{(x+ \frac{\sqrt{2}}{2} )^{2}+ \frac{1}{2} }= $$ $$ 6\int \frac{dx}{(x\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1 )^{2}+ 1 } = 6tan^{-1}(x\frac{2}{\sqrt{2}}+ 1) +C $$

برای حل انتگرال دومی صورت را بصورت $ 2x-2 \sqrt{2}=2x-\sqrt{2} - \sqrt{2} $ مینویسیم و آن را به دو انتگرال تبدیل میکنیم که حاصل یکی $ ln $ مخرج و دومی برابر است با انتگرال بدست آمده در بالا بدون ضریب $3$

Answer 2

یرای حل ب از تجزیه کسرها استفاده میکنیم داریم: $$\frac{ 1}{ x(x^{2} +x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2} +x+1} =\frac{ (A+B)x^{2}+(A+C)x+A}{ x(x^{2} +x+1)} $$ با مقایسه صورت ها $A=1 $ و همچنین$ (A+B)=(A+C)=0 $ لذا $B=C=-1 $ پس داریم: $$ \int \frac{ dx}{ x(x^{2} +x+1)} = \int \frac{dx}{x}- \int \frac{x+1}{x^{2} +x+1}dx=(i)+(ii)$$ $ (i)$ برابر است با $ ln | x | + C_{1} $ و برای $ (ii)$ داریم: $$ \int \frac{x+1}{x^{2} +x+1}dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^{2} +x+1}dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x+1+1}{x^{2} +x+1}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2x+1}{x^{2} +x+1}dx+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} +x+1}dx $$ انتگرال اولی برابر $ \frac{1}{2} ln | x^{2} +x+1 | + C_{2} $ است برای دومی مخرج را مربع کامل میکنیم: $$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} +x+1}dx= \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^{2} +\frac{3}{4}}dx = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \int \frac{1}{(\frac{2 \sqrt{3} }{3} x+\frac{ \sqrt{3} }{3})^{2} +1}dx= \frac{2}{3} tan^{-1} (\frac{2 \sqrt{3} }{3} x+\frac{ \sqrt{3} }{3})+C_{3} $$

پس ب برابر است با: $$ \int \frac{ dx}{ x(x^{2} +x+1)} =ln | x |+ \frac{1}{2} ln | x^{2} +x+1 | + \frac{2}{3} tan^{-1} (\frac{2 \sqrt{3} }{3} x+\frac{ \sqrt{3} }{3})+C$$