حد$\lim_{n \rightarrow \infty }( \frac{1}{ \sqrt{ n^{2} } }+...+\frac{1}{ \sqrt{ n^{2} +{(n-1)}^{2}} } )$

Question

حاصل حد زیر را بدست آورید؟ $$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{1}{ \sqrt{ n^{2} } } +\frac{1}{ \sqrt{ n^{2} +1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ n^{2} +{(n-1)}^{2}} } )$$

Answer 1

در مخرج از $ n^{2}$ فاکتور میگیریم لذا داریم: $$ \lim_{n \rightarrow \infty } ( \frac{1}{ \sqrt{ n^{2} } } +\frac{1}{ \sqrt{ n^{2} +1} } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ n^{2} +{(n-1)}^{2}} } )=\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} ( \frac{1}{ \sqrt{ 1 } } +\frac{1}{ \sqrt{ 1 + \frac{1}{n^{2}} } } +...+ \frac{1}{ \sqrt{ 1 + \frac{(n-1)}{n}^{2} }} =\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{ \sqrt{1+ { (\frac{i}{n} })^{2} } } \times \frac{1}{n}= \int_0^1 \frac{dx}{ \sqrt{1+ x^{2} } } $$ که با تغییر متغییر $ x=tan \theta $ مشابه حل قسمت ب سوال حاصل انتگرالهای $ \int \sqrt{tan \ x} dx $ و $ \int \frac{dx }{ \sqrt{1+ e^{x} } } $ مقدار انتگرال برابر است با: $\int_0^1 \frac{dx}{ \sqrt{1+ x^{2} } } = ln( \mid \sqrt{x^{2} +1 }+x \mid ) | ^{1} _{0} =ln( \sqrt{2}+1 )$

Comments

جواب انتگرال میشد پی تقسیم بر دو چرا پیچیدش کردین.

---

لطفا روش حلشو بنویسید.

---

انتگرال آخر رو میگم.میشه آرک سینوس دیگه؟؟؟؟

---

@مهران
نه وقتی که $\sqrt{1-x^2}$باشه میشه $\arcsin$