اینفیمم دو تابع یعنی تابعی که در هر نقطه اینفیمم اثرهای دو تابع در آن نقطه را میدهد. مثلا اگر $f(0)=1$ و $g(0)=2$ آنگاه
$$(inf(f,g))(0)=inf(f(0),g(0))=inf(1,2)=1$$
تعریف نیمپیوستهٔ پائینی را به یاد آورید. تابع $f$ در نقطهٔ $x_0$ نیمپیوستهٔ پائینی بود هر گاه
$$\forall\epsilon>0 \exists \delta>0\text{s.t.}\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\colon f(x)\in (f(x_0)-\epsilon,\infty)$$
یا به عبارت دیگر در آخر رابطهٔ بالا $f(x)>f(x_0)-\epsilon$. و تابع $f$ نیمپیوستهٔ پائینی بود هر گاه در هر نقطه اینچنین بود. اکنون فرض کنید $f$ و $g$ هر دو نیمپیوستهٔ پائینی باشند. باید ثابت کنیم برای یک نقطهٔ دلخواهِ $x_0$ و یک $\epsilon>0$ دلخواه یک $\delta>0$ وجود دارد که $(inf(f,g))(x)$ های که $x$ در همسایگیِ $x_0$ به شعاعِ $\delta$ قرار دارد از $(inf(f,g))(x_0)-\epsilon$ بزرگتر است.
کافیست $\delta$ را کمینهٔ دلتاهای نیمپیوستگی پائینیِ $f$ و $g$ در همان نقطهٔ $x_0$ و متناسب با پارامتر $\epsilon$ بگیریم. در اینصورت داریم
$$f(x)>f(x_0)-\epsilon,\quad g(x)>g(x_0)-\epsilon$$
توجه کنید که
$$\begin{array}{lll}inf(f(x_0)-\epsilon,g(x_0)-\epsilon) & = & inf(f(x_0),g(x_0))-\epsilon\\ & = & (inf(f,g))(x_0)-\epsilon \end{array}$$
چون
$$\begin{array}{l}f(x_0)-\epsilon\geq inf(f(x_0)-\epsilon,g(x_0)-\epsilon)\\
g(x_0)-\epsilon\geq inf(f(x_0)-\epsilon,g(x_0)-\epsilon)\end{array}$$
پس
$(inf(f,g))(x_0)-\epsilon$ یک کران پائین برای مجموعهٔ دوعضویِ $\{f(x),g(x)\}$ میشود و با توجه به تعریف اینفیمم (بزرگترین کران پائین) داریم
$$inf(f(x),g(x))\geq (inf(f,g))(x_0)-\epsilon$$
اما توجه کنید که $inf(f(x),g(x))=(inf(f,g))(x)$ پس چیزی که قرار بود را ثابت کردیم و در نتیجه تابع $inf(f,g)$ نیمپیوستهٔ پائینی است.
