آیا اندازه لبگ روی $\mathbb R^2$ حاصلضرب اندازه های لبگ یک بعدی است؟

Question

اگر $ \lambda _{2 } $ اندازه ی لبگ روی $ \mathbb R^{2} $ و $ \lambda $ اندازه ی لبگ روی $ \mathbb R$ باشد ، آیا $ \lambda _{2}= \lambda \times \lambda $ ؟ چرا ؟

Answer 1

خیر اینطور نیست.

در واقع $ \lambda_2$ کامل شده ی اندازه ی $\lambda\times \lambda $ است. یعنی کامل شده ی $\lambda\times \lambda $ روی $ \mathcal B_{\mathbb R} \otimes \mathcal B_\mathbb R=\mathcal B_{\mathbb R^2} $ یا به طور معادل کامل شده ی $ \lambda\times \lambda$ روی $ \mathcal L\otimes \mathcal L $ است.

مشکل از اینجا ناشی میشه که اگر فقط حاصلضرب آنها را در نظر بگیریم در اینصورت باید برای هر زیرمجموعه ی $ A\subset \mathbb R$ داشته باشیم: $$ \lambda_2(\{0\}\times A)=\lambda(\{0\})\times \lambda(A)=0\times \lambda(A)=0 $$

و این را برای حالتی که $ A$ یک مجموعه اندازه ناپذیر است در نظر بگیرید در اینصورت $$\{0\}\times A\subset \{0\}\times \mathbb R $$ مجموعه $\{0\}\times\mathbb R $ از اندازه ی $\lambda_2 $ صفر است در حالیکه
$ \{0\}\times A $ اندازه پذیر نیست. پس مجبوریم که کامل شده ی آن را در نظر بگیریم.