درستی عبارت $\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=4\int_0^\infty x^4\times \frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx$

Question

$$\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx=4\int_0^\infty x^4\times \frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx$$

Comments

برابر نیستند.
در سمت منفی بینهایت حد بگیرید. یکی صفر است یکی بی نهایت.
اما هر دو در بقیه نقاط محدود هستند.
پس برابر نیستند.

---

@Javadsh متن پرسش را کامل بنویسید، فکر نکنید نوشتن قسمتی در عنوان پرسش کار متن پرسش را نیز انجام می‌دهد.

Answer 1

تعریف کنید $$A=\frac{x^3}{e^x-1},\quad B=\frac{4xe^x}{(e^x-1)^2}$$ توجه کنید که $$\begin{array}{lll}\frac{B}{A}=\frac{4xe^x}{e^x-1} & = & \frac{4xe^x-4x+4x}{e^x-1}\\ & = & 4x+\frac{4x}{e^x-1} \end{array}$$ که به ازای هر $x>0$ مقداری اکیدا مثبت است و تابعی افزایشی (صعودی) اکید. پس جمع ریمانی که به مقدار انتگرال میل می‌کند برای $B$ مقدارهای بیشتر اکید نسبت به برای $A$ جمع می‌زند. پس مقدارِ $\int_0^\infty Bdx$ اکیدا بزرگتر از مقدارِ $\int_0^\infty Adx$ باید باشد.