به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
85 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط hamed.barabadi (11 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

با عرض سلام و خسته نباشید خدمت شما.
فرض کنید چند طرح سرمایه‌گذاری با نرخِ سود متفاوت داریم. در متنی که می‌نویسم منظور از ضریبِ یک طرح، نسبتِ میزان پولی است که پس از اتمام دوره سرمایه‌گذار در این طرح خواهد گرفت که یعنی سرمایهٔ گذاشته‌شده در طرح بعلاوهٔ سودش. چون ریسک طرح با سود بالاتر بیشتر از طرح با سود پائین‌تر است، معمولا سرمایه‌گذار اقدام به سرمایه‌گذاری در چند طرح به جای یک طرح می‌کند. اکنون پرسش من این است که اگر بخواهم یک سرمایهٔ اولیه مانند ۱۰۰هزار تومان را در چند طرح با ضریب متفاوت طوری سرمایه‌گذاری کنم که میزان سرمایهٔ نهایی در هر طرح با هم برابر شود چگونه باید بدانم که چه مقدار در هر طرح بگذارم؟

برای اینکه پرسشم را شفاف‌تر کرده‌باشم یک مثال در زیر آورده‌ام که البته من خودم مقدارهای انتخاب شده در هر طرح را محاسبه نکرده‌ام.

نمونه: میزان کل سرمایهٔ اولیه ۱۰۰هزار تومان. ۱۰ طرح با ضریب‌های زیر داریم (به ترتیب از چپ به راست).

$$1.32,\;1.39,\;1.42,\;1.34,\;1.15,\;1.28,\;1.285,\;1.40,\;1.59,\;1.58$$

اکنون یک پاسخ ممکن تقریبا مقدارهای زیر است. از چپ به راست میزان تومنی که در طرح ۱ تا ۱۰ می‌گذاریم.

$$10300,\;9800,\;9600,\;10200,\;11800,\;10700,\;10600,\;9700,\;8600,\;8700$$

اگر میزان سرمایه‌گذاری شده در طرحِ $i$اُم را در ضریبش ضرب کنید تقریبا مقدار یکسانی بدست می‌آید (بین ۱۳۵۸۰ تا ۱۳۷۴۶ تومن) و جمع ۱۰ مقدار گذاشته شده در طرح‌ها برابر با ۱۰۰هزار تومن است. و همان‌گونه که می‌بینید هر چه ضریب کمتر است به همان نسبت سرمایه‌ای که رویش گذاشته‌ایم بیشتر است.

چگونه این مقدارها را محاسبه کرده‌اند؟ ممنون می‌شوم کمکم کنید. سپاسگزار.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (10,683 امتیاز)

یک نحوهٔ دید دیگر این است که پرسش‌تان را با زبان دستگاهِ برابری‌ها (دستگاه معادلات) بازنویسی کنید. میزان کل سرمایهٔ نخستین را با $x_{tot,0}$ که tot آغاز واژهٔ انگلیسیِ total به معنای کل است و $0$ نمایانگر این است که در آغاز، یا لحظهٔ $t=0$، مقدار کل این است. ضریب‌های طرح‌های‌تان را با $a_i$ که $i$ از ۱ تا $n$ (تعداد طرح‌ها) می‌تواند باشد، نمایش دهید. $x_{tot,0}$ و $a_1$ تا $a_n$ پارامترهای معلوم شما هستند که مقدارهایشان را می‌دانید. اکنون مقداری که می‌خواهید در طرحِ $i$اُم بگذارید مجهول است که می‌خواهید پیدا کنید، آنها را با $x_{i,0}$ نمایش دهید، یعنی مقدار سرمایه‌ای که در لحظهٔ شروع می‌خواهید در طرح $i$اُم بگذارید. میزان سرمایه‌ای که در طرح $i$اُم پس از سپری شدن مدت سرمایه‌گذاری یا واحد زمانیِ سودها خواهید داشت را با $x_{i,1}$ نمایش دهید، یعنی مقدار سرمایه‌ای که پس از گذرانده‌شدن ۱ واحد زمان در طرح $i$اُم دارید (واحد در اینجا الزاما ثانیه یا واحد دلخواه نیست، بلکه مقدار زمانی است که نیاز دارید تا طرح مقدار اعلام‌شده با ضریب را بدهد (یا اختصاص دهد مثلا اگر نرخ سود سالیانه گزارش شده‌است آنگاه یک سال واحد است). در این صورت شما برابری‌های زیر را دارید.

$$\sum_{i=1}^nx_{i,0}=x_{tot,0},\quad\forall i=1,\cdots,n\;\colon\;a_ix_{i,0}=x_{i,1}$$

چیزی که می‌خواهید این است که $x_{i,1}$ها همگی برابر شوند پس فرض کنید آنها برابر با یک مقدارِ یکسان مثلا $x$ شوند که فعلا مقدارش را نمی‌دانید. پس دستگاه زیر را دارید.

$$\begin{cases} x_{1,0}+x_{2,0}+\cdots+x_{n,0}=x_{tot,0}\\ a_1x_{1,0}=x\\ \vdots\\ a_nx_{n,0}=x \end{cases}$$

که یک دستگاه خطی دارای $n+1$ مجهول یعنی $x_{1,0},\cdots,x_{n,0},x$ است و ${n+1}$ برابری که می‌توانید با روش‌های جبرخطی آن را بررسی و حل کنید. البته چون شکل ساده‌ای دارد می‌توانید حتی بدون جایگذاری داده‌ها شکل کلی آن را حل کنید که همان فرمول میان‌بُر و ساده‌ای به شما می‌دهد. از برابری‌های ۲ تا $n+1$ بدست می‌آورید که $x_{i,0}=\frac{x}{a_i}$. اکنون با جایگذاری آنها در برابریِ نخست دارید به یک معادلهٔ تک‌مجهولی می‌رسید.

\begin{align} x_{tot,0} &= \frac{x}{a_1}+\cdots+\frac{x}{a_n}\ &= \big(\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}\big)x\ \Longrightarrow x &= \frac{x_{tot,0}}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}} \end{align}

اکنون با جایگذاری مقدار بدست‌آمده برای $x$ در رابطه‌های یک گام قبل مقدارهایی که شما دنبالشان هستید را می‌گیرید.

\begin{align} x_{1,0} &= \frac{\tfrac{1}{a_1}}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}x_{tot,0}\ \vdots & \ x_{n,0} &= \frac{\tfrac{1}{a_n}}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}x_{tot,0} \end{align}

اکنون در مورد مثال شما که داریم $x_{tot,0}=100000$ و $n=10$ و $a_1=1.32$ تا $a_{10}=1.58$ برای نمونه داریم

$$\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{a_i}\simeq 7.332647485260169$$ و برای نمونه داریم $$x_{1,0}\simeq \frac{1}{1.32}\cdot\frac{100000}{7.332647485260169}\simeq 10331.544767406449$$

که البته در مثال شما فردی که مقدارها را بدست آورده‌است با توجه به محدودیتی مانند اینکه مقدار پول را گسسته و با کمترین واحد ۱۰۰ تومان بگیریم، مقدارها را گرد کرده‌است و برای $x_{1,0}$ مقدار ۱۰۳۰۰ تومان انتخاب کرده‌است. در این گرد کردن باید دقت کنید که جمع ۱۰ مقدار برابر با ۱۰۰۰۰۰ باقی بماند. غیر از استفاده از این فرمول از هر روش دیگری برای حل دستگاه $n+1$ معادله $n+1$ مجهولی که معرفی کردیم می‌توانید استفاده کنید، می‌توانید شرط گستته بودن بدهید و از ترفندهای مربوطه استفاده کنید تا فرمول میان‌بُری که خودکار گردکردن‌ها را در خود داشته‌باشد نیز بدهید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...