کاری بوسیلهٔ تعداد خاصی از کارگرها در تعداد روز معینی انجام می شود. اگر در میان کار چند کارگر کم شود، چه مدت به زمان پروژه افزوده می شود؟

Question

کاری بوسیلهٔ $M$ کارگر در $D$ روز انجام می‌شود. اگر پس از گذشت $d$ روز، $m$ کارگر (با فرض $d < D$ و $m < M$) قادر به ادامهٔ کار نباشند، آنگاه کار در چند روز به پایان می‌رسد؟ فرض بر اين است كه تمام كارگر‌ها در هر روز به طور مساوی كار می‌كنند و خروج تعدادی از كارگران از كار، تأثيری بر ميزان كار بقيهٔ كارگرها نمی‌گذارد.

Answer 1

با فرض اینکه کل کار را $M$ کارگر در $D$ روز انجام میدهند داریم $M×D$ کارگر-روز لازم است تا کل کار انجام شود.

حال فرض کنیم در ابتدای کار همان $M$ کارگر را در اختیار داشته باشیم اما تا $D_1$ روز و در روز بعد از آن $m_1$ کارگر سرکار حاضر نشوند پس $M-m_1$ کارگر در اختیار داریم باقیمانده کار را میتوان با تناسب معکوس و بصورت زیر محاسبه کرد:

$M×D=M×D_1+(M-m_1)×Xروز باقیمانده$

پس خواهیم داشت:

$$X= \frac{M×D-M×D_1}{(M-m_1)}= \frac{M(D-D_1)}{M-m_1}$$

مثال: کاری با $20$ کارگر در $100$ روز انجام میشود. پس از $50$ روز $10$ کارگر سرکار حاضر نمیشوند پس باقیمانده کار در

$X= \frac{20(100-50)}{20-10}=100$ روز و در نتیجه کل کار در $50+100=150$ روز انجام میشود.

حال آیا شما میتوانید تعمیمی برای فرمول فوق بیابید؟

Answer 2

روش دوم ابتدا با تناسب داریم کهدر یک روز مقدار $\frac{1}{D}$ کار انجام می شود

پس در $d$ روز اول مقدار $\frac{d}{D}$ کار انجام شده و مقدار $\frac{D-d}{D}$ کار مانده است.

و با یک تناسب دیگر داریم هر کارگر در یک روز مقدار $\frac{1}{MD}$ کار را انجام میدهند.

پس باید حساب کنیم که مقدار $\frac{D-d}{D}$ کار را $M-m$ کارگر در چند روز انجام میدهند اگر هر کارگر در هر روز مقدار $\frac{1}{MD}$ کار را انجام دهد. پس در یک روز مقدار $\frac{M-m}{MD}$ کار انجام داده می شود با یک تناسب دیگر تعداد روز را میابیم:

که برابر است با:

$$\frac{M(D-d)}{M-m}$$

Comments

تشکراز لطفتان