بدست آوردن حد $\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x$

Question

سوال در مورد به دست آوردن حد زیر است: $$\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x$$

از طریق هم ارزیها به نتیجه ای نرسیدم.

Comments

سلام. موقع پرسیدن سوال حتما این جمله را دیدید:
"فقط یک سوال بپرسید و آن را با جزئیات توضیح دهید."
برچسب معادله اینجا چه کاربردی دارد؟
لطفا راهنمای تایپ ریاضی را بخوانید.
"از طریق هم ارزیها به نتیجه نرسیدم" به عنوان تلاش شما در اینجا قابل قبول نیست. بهتر بود بنویسید که با چه روشی خواستید حل کنید و در کجا گیر کردید. اینطوری کاربران دیگر به شما کمک می کردند که چطوری با راه حل شما میشه به جواب رسید. و یا اینکه شاید راه حل شما درست نباشه.
من این دفعه براتون ویرایش می کنم. لظفا از این به بعد قوانین را رعایت کنید.

Answer 1

ابتدا متغییر و تغییر میدهیم :

$$x:={e^{-t}} \ \ \ \ : x > 0$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ \lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=\lim_{t\to+\infty}(-t)(e^{-t})^2=\lim_{t\to+\infty}\frac{-t}{(e^t)^2}$$

حال از نامساوی زیر استفاده میکنیم :

$$e^t\ge 1+t$$

در نتیجه با توجه به نامساوی ایجاد شده و قضیه فشردگی خواهیم داشت :

$$ \left|\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x\right|\le \lim_{t\to+\infty}\left|\frac{-t}{(e^t)^2}\right|=\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(e^t)^2}\le \lim_{t\to+\infty}\frac{t}{(t+1)^2}=0.$$

بنابراین خواهیم داشت :

$$\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x =0$$

Answer 2

به کمک قاعده هوپیتال

$$\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x=\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{ \frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{ \frac{-2}{x^3}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{2}=0 $$