همانطور که میدانیم تقسیم عدد بر صفر تعریف نشده ، حالا چرا در مسائل بخش پذیری مقسوم علیه رو صفر میکنیم و در واقع عدد بر صفر ایجاد میکنیم ؟

Question

همانطور که میدانید تقسیم عدد برصفر در عملیات ریاضی تعریف نشده است و ما حتی تقسیم عبارتهای گویا را با فرض صفر نشدن مخرج انجام میدهیم (کتاب درسی ریاضی نهم)، اما در مبحث بخش پذیری حسابان ۲ ، از تکنیک صفر کردن مقسوم علیه برای یافتن باقی مانده استفاده میکنیم ! البته میدانم که هر تقسیم عبارت گویا را میتوان به شکل: مقسوم = مقسوم علیه × خارج قسمت + باقی مانده (a=bq+r) نوشت که یک اتحاد است و به ازای همه مقادیر برقرار میباشد و در اتحاد فوق به وضوح مشخصه با صفر کردن مقسوم علیه به باقی مانده میرسیم ولی چیزی که ذهن من رو مشغول کرده اینه که این عمل با بحث تعریف عبارتهای گویا و لزوم صفر نبودن مخرج در تضاده ! چطور اجازه داریم باقیمانده تقسیم را با قرار دادن عددی که عبارت گویا رو تعریف نشده میکنه بدست بیاریم ؟! میشه این مطلب رو باز کنید و با مثال توضیح دهید که چرا چنین کاری مجاز است

Answer 1

بايد بدانيد که منظور از تقسيم چندجمله اي بر چندجمله اي چیست. وقتي عمل تقسيم چندجمله اي ها را انجام مي دهيم حاصل تقسيم و باقيمانده تقسيم هم چندجمله اي هستند. در جبر(منظور جبر مجرد که دانشجويان دوره کارشناسي رياضي با آن آشنا هستند) ثابت مي شود در حلقه ي چندجمله اي ها(در اينجا $\mathbb R[x]$ ) به ازاي هر دو چندجمله اي ناصفر $p(x),d(x)$ مي توان چندجمله اي هاي $ q(x),r(x) $ را يافت به طوريکه $$p(x)=d(x)q(x)+r(x)$$ که در آن $r(x)=0$ يا $deg(r(x))\leq deg(d(x))$ (يعني درجه چندجمله اي باقيمانده،$r(x)$، کمتر يا مساوي درجه چندجمله اي مقسوم عليه است.)

به عنوان مثال در تقسیم چند جمله ای $x^2+2x$ بر $x-1$ داریم

$$x^2+2x=(x-1)(x+3)+3$$

تا اینجا ما فقط عمل تقسیم چندجمله ای ها را انجام دادیم. چندجمله ای $p(x)$ ممکن است به ازای $x$ های مختلف مقادیر متفاوتی داشته باشد. به عنوان مثال $x^3-2x+1$ برای $x=1$ مقدار $0$ و برای $x$ ی دیگر مقداری دیگر را اختیار می کند.

حال چنانچه $d(x)=(x-a)$ باشد در اينصورت $$p(x)=(x-a)q(x)+r(x)$$ که در آن $r(x)$ يک چندجمله اي با درجه کمتر از $deg((x-a))=1$ است؛ يعني درجه صفر و لذا يک عدد است. لذا $r(x)$ براي هر مقداري از $x$ ثابت است.

بعد از اينکه اين رابطه را به کمک تقسيم چندجمله اي ها نوشتيم با قرار دادن مقدار $a$ براي $x$ داريم $p(a)=r(a)$. توجه کنيد تا قبل از اين ما با استفاده از تقسيم چندجمله اي ها رابطه بالا را مي نوشتيم ولي از وقتي که به جاي $x$ مقدار قرار داديم ديگر به عنوان عدد به آنها نگاه ميکنيم. و چون $r(x)$ عدد ثابت است لذا $r(x)=p(a)$.

Comments

@Mohsenn
ما عمل تقسیم چندجمله ای ها را انجام می دهیم. در یک چندجمله ای معمولا $x$ متغیر نامیده می شود.
اما بعدا که بجای $x$ قرار دادیم مقدار چندجمله ای در آن نقطه داده شده یک عدد می شود و لذا از آنجا به بعد به عنوان یک عدد به آن نگاه می کنیم.
مثلا $x-1$ یک چندجمله ای درجه یک است که در نقطه ی $x=2$ برابر $1$ و در نقطه $1$ برابر صفر است و به همین ترتیب در نقاط دیگر مقدار متفاوت دیگری اختیار می کند. اگر بگوییم یک چند جمله ای را بر چندجمله ای صفر تقسیم می کنیم کار خطایی کرده ایم ولی در اینجا $x-1$ که چندجمله ای صفر نیست.

---

بله کاملا درست میفرمایید، ممنونم ازتون

---

@fardina
راستش من هنوز جواب سوالم رو نگرفتم در ریاضی گسسته ما برای تقسیم مینویسیم  a=bq+r با شرط( b مخالف صفر )
یعنی شرط مقسوم علیه مخالف صفر رو مینویسیم برای تقسیم ولی در بخش پذیری در جبر و حسابان این شرط رو نمیزارن و اجازه میدن برای بدست اوردن باقیمانده، مقسوم علیه رو صفر کنیم !
بله ؛ من هم میدونم که وقتی مخرج چند جمله ای است لزوما به معنی صفر شدن مخرج نیست ولی همانطور که در توابع دامنه انها رو جلوش مینویسم و میگیم توابع کسری برای ریشه های مخرج تعریف نشده است چرا اینجا شرط ناصفر شدن مقسوم علیه رو در بخش پذیری نمی نویسیم  و اجازه میدیم در رابطه بخش پذیری، عدد a در ( x-a ) گذاشته بشه؟ خب مگه غیر اینه که با اینکار مخرج چند جمله ای رو صفر میکنیم ؟! خب با این حساب توی تابع هم بگیم دامنه کیلو چند ؟ وقتی توی مخرج تابع کسری ایکس داریم ، مشکلی نیست و به معنی صفر بدون مخرج نیست و هر عددی مجازی بزاریم !!! به نظرتون این حرف منطقیه ؟ اگه برای تابع منطقی نیست برای این موضوع هم نباید اینجوری باشه . یک بام و دو هوا که نمیشه !


نمیدونم منظورم رو متوجه شدید یانه ؟

---

شما متاسفانه الگوریتم تقسیمی هم که در گسسته خوندید رو اشتباه می نویسید. در کتاب حسابانتون هم من نگاه کردم شرط مخالف صفر و شرایط دیگری رو هم ذکر کرده.
لطفا خوب به تعریف ها و مفاهیم نگاه کنید. نباید یک قسمت را ببینید و قسمت دیگر را حذف کنید. شما الان طوری بحث می کند که انگار رابطه ای مثل $5=0\times 3+5$ اشتباه است چون انگار $5$ بر صفر تقسیم شده است!
در الگوریتم تقسیم داریم که برای دو عدد صحیح داده شده ی $a,b$ که $b\neq 0$ می توان اعداد صحیح یکتای $q,r$ را به گونه ای یافت که
$$a=bq+r$$
و
$$0\leq r< |b|$$
در اینصورت $q$ را مقسوم علیه و $r$ را باقیمانده تقسیم گوییم.

مثلا در تقسیم $5$ بر 3 می توان نوشت $5=3\times 1+2$  یعنی $q=1, r=2$
ولی آیا نمی توان نوشت
 $5=3\times 0+5$
 یا $5=3\times (-1)+8$ یا $5=3\times 2-1$ ؟ همه ی این روابط درست هستند ولی در شرایط الگوریتم تقسیم صدق نمی کنند. یعنی نمی توان به کمک این روابط گفت که خارج قسمت و باقیمانده تقسیم چه هستند.

در مورد تقسیم برای چندجمله ای ها صفحه ی 18 کتاب حسابان تان را ببینید چه نوشته است:

اگر $f(x)$ و $p(x)$ توابع چندجمله ای باشند و درجه $p(x)$ از صفر بزرگتر باشد(پس حتما امکان ندارد که صفر باشد)، آنگاه توابع چندجمله ای منحصر به فرد $q(x)$ و $r(x)$ وجود دارند به طوریکه :
$$f(x)=p(x)q(x)+r(x)$$ که در آن $r(x)=0$ یا درجه $r(x)$ از درجه $p(x)$ کمتر است.

در اینصورت $q(x)$ را خارج قسمت و $r(x)$ را باقیمانده تقسیم گویند.

خوب حالا اگر در این توابع چندجمله ای برای $x=a$ ، مقدار $p(a)$ صفر شود و رابطه به صورت:
$$f(a)=p(a)q(a)+r(a)=0\times q(a)+r(a)$$ شود چه مشکلی وجود دارد؟ یعنی مثلا اگر رابطه به صورت $5=0\times 3+5$ شود تقسیم بر صفر ایجاد شده؟

جواب چند تا از سوالات شما:
> ولی همانطور که در توابع دامنه انها رو جلوش مینویسم و میگیم توابع کسری برای ریشه های مخرج تعریف نشده است چرا اینجا شرط ناصفر شدن مقسوم علیه رو در بخش پذیری نمی نویسیم  و اجازه میدیم در رابطه بخش پذیری، عدد a در ( x-a ) گذاشته بشه؟
جواب: در توابع کسری مثلا $f(x)=\frac{x^3+4x+1}{x-1}$ اگر قرار دهیم $x=1$ در اینصورت $f(1)=\frac 60$ که تعریف نشده است. ولی ما در رابطه ای مثل $x^3+4x+1=(x-1)(x^2+x+5)+6$ اگر قرار دهیم $x=1$ داریم: $6=0\times 7+6$ و تقسیم بر صفر نداریم.(در واقع ضربدر 0 داریم که ممکن است)

> خب مگه غیر اینه که با اینکار مخرج چند جمله ای رو صفر میکنیم ؟!
جواب: بله غیر این است. لطفا یک بار دیگر پاسخ، و توضیحات اینجا را مطالعه کنید. در رابطه ی $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ مخرجی می بینید؟

> خب با این حساب توی تابع هم بگیم دامنه کیلو چند ؟ وقتی توی مخرج تابع کسری ایکس داریم ، مشکلی نیست و به معنی صفر بدون مخرج نیست و هر عددی مجازی بزاریم !!!
جواب: کاملا حرفتون غیر منطقیه. در سوالات قبلی به این جواب داده شد.

---

واقعا توضیح کاملی بود.

Answer 2

به دلیل اینکه عبارت $ \frac{f(x)-r(x)}{p(x)} $ در حالت $ \frac{0}{0} $ دارای حد برابر q(x) است.