به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط khanmohammadi
ویرایش شده توسط khanmohammadi

همانطور که میدانید تقسیم عدد برصفر در عملیات ریاضی تعریف نشده است و ما حتی تقسیم عبارتهای گویا را با فرض صفر نشدن مخرج انجام میدهیم (کتاب درسی ریاضی نهم)، اما در مبحث بخش پذیری حسابان ۲ ، از تکنیک صفر کردن مقسوم علیه برای یافتن باقی مانده استفاده میکنیم ! البته میدانم که هر تقسیم عبارت گویا را میتوان به شکل: مقسوم = مقسوم علیه × خارج قسمت + باقی مانده (a=bq+r) نوشت که یک اتحاد است و به ازای همه مقادیر برقرار میباشد و در اتحاد فوق به وضوح مشخصه با صفر کردن مقسوم علیه به باقی مانده میرسیم ولی چیزی که ذهن من رو مشغول کرده اینه که این عمل با بحث تعریف عبارتهای گویا و لزوم صفر نبودن مخرج در تضاده ! چطور اجازه داریم باقیمانده تقسیم را با قرار دادن عددی که عبارت گویا رو تعریف نشده میکنه بدست بیاریم ؟! میشه این مطلب رو باز کنید و با مثال توضیح دهید که چرا چنین کاری مجاز است

مرجع: حسابان ۲

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

بايد بدانيد که منظور از تقسيم چندجمله اي بر چندجمله اي چیست. وقتي عمل تقسيم چندجمله اي ها را انجام مي دهيم حاصل تقسيم و باقيمانده تقسيم هم چندجمله اي هستند. در جبر(منظور جبر مجرد که دانشجويان دوره کارشناسي رياضي با آن آشنا هستند) ثابت مي شود در حلقه ي چندجمله اي ها(در اينجا $\mathbb R[x]$ ) به ازاي هر دو چندجمله اي ناصفر $p(x),d(x)$ مي توان چندجمله اي هاي $ q(x),r(x) $ را يافت به طوريکه $$p(x)=d(x)q(x)+r(x)$$ که در آن $r(x)=0$ يا $deg(r(x))\leq deg(d(x))$ (يعني درجه چندجمله اي باقيمانده،$r(x)$، کمتر يا مساوي درجه چندجمله اي مقسوم عليه است.)

به عنوان مثال در تقسیم چند جمله ای $x^2+2x$ بر $x-1$ داریم

$$x^2+2x=(x-1)(x+3)+3$$

تا اینجا ما فقط عمل تقسیم چندجمله ای ها را انجام دادیم. چندجمله ای $p(x)$ ممکن است به ازای $x$ های مختلف مقادیر متفاوتی داشته باشد. به عنوان مثال $x^3-2x+1$ برای $x=1$ مقدار $0$ و برای $x$ ی دیگر مقداری دیگر را اختیار می کند.

حال چنانچه $d(x)=(x-a)$ باشد در اينصورت $$p(x)=(x-a)q(x)+r(x)$$ که در آن $r(x)$ يک چندجمله اي با درجه کمتر از $deg((x-a))=1$ است؛ يعني درجه صفر و لذا يک عدد است. لذا $r(x)$ براي هر مقداري از $x$ ثابت است.

بعد از اينکه اين رابطه را به کمک تقسيم چندجمله اي ها نوشتيم با قرار دادن مقدار $a$ براي $x$ داريم $p(a)=r(a)$. توجه کنيد تا قبل از اين ما با استفاده از تقسيم چندجمله اي ها رابطه بالا را مي نوشتيم ولي از وقتي که به جاي $x$ مقدار قرار داديم ديگر به عنوان عدد به آنها نگاه ميکنيم. و چون $r(x)$ عدد ثابت است لذا $r(x)=p(a)$.

دارای دیدگاه توسط Mohsenn
fardina@ با سلام خدمت شما، منظورتون اینه که در زمان تقسیم چند جمله ای،  به عنوان متغییر به ایکس نگاه نمیکنیم، و بعد از انجام تقسیم چند جمله ای به عنوان متغیر به ایکس نگاه میکنیم و مقدار دهی میکنیم
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
@Mohsenn
ما عمل تقسیم چندجمله ای ها را انجام می دهیم. در یک چندجمله ای معمولا $x$ متغیر نامیده می شود.
اما بعدا که بجای $x$ قرار دادیم مقدار چندجمله ای در آن نقطه داده شده یک عدد می شود و لذا از آنجا به بعد به عنوان یک عدد به آن نگاه می کنیم.
مثلا $x-1$ یک چندجمله ای درجه یک است که در نقطه ی $x=2$ برابر $1$ و در نقطه $1$ برابر صفر است و به همین ترتیب در نقاط دیگر مقدار متفاوت دیگری اختیار می کند. اگر بگوییم یک چند جمله ای را بر چندجمله ای صفر تقسیم می کنیم کار خطایی کرده ایم ولی در اینجا $x-1$ که چندجمله ای صفر نیست.
دارای دیدگاه توسط Mohsenn
بله کاملا درست میفرمایید، ممنونم ازتون
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط MSS

به دلیل اینکه عبارت $ \frac{f(x)-r(x)}{p(x)} $ در حالت $ \frac{0}{0} $ دارای حد برابر q(x) است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...