بايد بدانيد که منظور از تقسيم چندجمله اي بر چندجمله اي چیست. وقتي عمل تقسيم چندجمله اي ها را انجام مي دهيم حاصل تقسيم و باقيمانده تقسيم هم چندجمله اي هستند. در جبر(منظور جبر مجرد که دانشجويان دوره کارشناسي رياضي با آن آشنا هستند) ثابت مي شود در حلقه ي چندجمله اي ها(در اينجا $\mathbb R[x]$ ) به ازاي هر دو چندجمله اي ناصفر $p(x),d(x)$ مي توان چندجمله اي هاي $ q(x),r(x) $ را يافت به طوريکه
$$p(x)=d(x)q(x)+r(x)$$
که در آن $r(x)=0$ يا $deg(r(x))\leq deg(d(x))$ (يعني درجه چندجمله اي باقيمانده،$r(x)$، کمتر يا مساوي درجه چندجمله اي مقسوم عليه است.)
به عنوان مثال در تقسیم چند جمله ای $x^2+2x$ بر $x-1$ داریم
$$x^2+2x=(x-1)(x+3)+3$$
تا اینجا ما فقط عمل تقسیم چندجمله ای ها را انجام دادیم. چندجمله ای $p(x)$ ممکن است به ازای $x$ های مختلف مقادیر متفاوتی داشته باشد. به عنوان مثال $x^3-2x+1$ برای $x=1$ مقدار $0$ و برای $x$ ی دیگر مقداری دیگر را اختیار می کند.
حال چنانچه $d(x)=(x-a)$ باشد در اينصورت
$$p(x)=(x-a)q(x)+r(x)$$
که در آن $r(x)$ يک چندجمله اي با درجه کمتر از $deg((x-a))=1$ است؛ يعني درجه صفر و لذا يک عدد است. لذا $r(x)$ براي هر مقداري از $x$ ثابت است.
بعد از اينکه اين رابطه را به کمک تقسيم چندجمله اي ها نوشتيم با قرار دادن مقدار $a$ براي $x$ داريم $p(a)=r(a)$. توجه کنيد تا قبل از اين ما با استفاده از تقسيم چندجمله اي ها رابطه بالا را مي نوشتيم ولي از وقتي که به جاي $x$ مقدار قرار داديم ديگر به عنوان عدد به آنها نگاه ميکنيم. و چون $r(x)$ عدد ثابت است لذا $r(x)=p(a)$.
