احتمال آمدن عدد حداقل یک عدد $1$ بعد از $n$ پرتاب =در اولین پرتاب $1$ بیاید یا در دومین پرتاب $1$ بیاید یا ...یا در $n$ امین پرتاب$1$ بیاید
پس$ A $ را برابر پیشامد آمدن $1$ قرار دهیم داریم:
$$p(A)= \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} +( \frac{5}{6} )^{2} \times \frac{1}{6}+...+( \frac{5}{6} )^{n} \times \frac{1}{6}$$
با کمی دقت معلوم میشود یک دنباله ی هندسی با جمله ی اول $ \frac{1}{6} $ و قدر نسبت $ \frac{5}{6} $ است که مجموع $n$ جمله برابر است با :
$$ p(A)=\frac{ \frac{1}{6} (1- (\frac{5}{6} )^{n} )}{1- \frac{5}{6} } =1- (\frac{5}{6} )^{n} $$
حال سوال میخواهد این احتمال بیش از $99\%$ باشد لذا باید داشته باشیم:
$$ 1- (\frac{5}{6} )^{n} \geq \frac{99}{100} \Rightarrow \frac{1}{100} \geq (\frac{5}{6} )^{n}$$
که با حل آن $n\geq \frac{2}{log \frac{6}{5} } $ بدست می آید.
در حالت کلی هم اگر احتمال اتفاق افتادن پیشامدی مانند $ A $ در هربار تکرار آزمایشی تصادفی برابر $ p $ باشد و حداقل تکرار های لازم برای شانس اتفاق افتادن دلخواه $ x\% $ را بخواهیم با دنباله ی هندسی با جمله اول
$ p$ و قدر نسبت $1-p $ روبه رو هستیم و کافیست معادله ی زیر را حل کنیم تا حداقل دفعات لازم برای رسیدن به نتیجه مطلوب بدست آید.
$$ 1- (1-p )^{n} \geq \frac{x}{100} $$
که در بخش دوم سوال احتمال آمدن عدد زوج برابر $ \frac{1}{2} $ است لذا باید معادله ی زیر را حل کنیم تا جواب بدست آید.
$$ 1- ( \frac{1}{2} )^{n} \geq \frac{99}{100} \Rightarrow \frac{1}{100} \geq (\frac{1}{2} )^{n} \Rightarrow 2^{n} \geq 100 $$
لذا حداقل پرتاب لازم برابر $7$ است.
