به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
2,239 بازدید
در دبیرستان توسط Mohsenn (367 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

با سلام، درمثلث $ABC$، اندازهٔ ضلع $AB$ برابر است با اندازهٔ $AC$ و نیمساز زاویه $B$، پاره‌خط $AC$ را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کند و داریم $AD+BD=BC$، اندازه زاویه $A$ چند درجه است؟

enter image description here

توسط rafig256 (646 امتیاز)
زاویه A برابر 100 درجه است
توسط alitk (312 امتیاز)
لطفا راه حل خود را توضیح دهید.همچنین به جای استفاده از بخش نظرات،از بخش ارسال پاسخ باید برای آنها استفاده کنید.
توسط rafig256 (646 امتیاز)
+2
من این مساله رو حل نکردم. واسه همین در قسمت پاسخ ها درج نکردم.
زاویه 100 درجه رو  به کمک رسم گفتم که بدیهی ست اثبات حساب نمی شه

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط salar (755 امتیاز)
انتخاب شده توسط Mohsenn
 
بهترین پاسخ

قرار میدیم AD=r و زوایای $ ACB=ABC= \theta $

ابتدا از راس A عمودی بر DB رسم میکنیم و آن را امتداد میدهیم تا نقطه E روی ضلع BC بدست آید و محل تلاقی AE وDB را H مینامیم

چونDB نیمساز است بنابر همنهشتی (ز.ض.ز) نتیجه میشود AH=HE.

نقطهE را به D وصل میکنیم، بنابر همنهشتی (ض.ز.ض) ED=AD

از نقطه E به مرکز D کمانی رسم میکنیم تا CB را در نقطه F قطع کند پس ED=r=DF

و از نقطه D بمرکز H کمانی میزنیم تا DB را در نقطه G قطع کند (DH=HG)

G را به A و E وصل میکنیم. بنابر همنهشتی (ض.ز.ض) HEG همنهشت AGH و بنا بر همین حالت AGH همنهشت DHA و باز با این حالت DHA همنهشت DHE.

درنتیجه AGED یک لوزی میباشد پس EG موازی با AC پس زاویه $GEB= \theta $

مثلث های ABG و EBG با (ض.ض.ض) همنهشتند

پس زاویه $GAB= \theta $

و زوایای $DEB=DAB=180-2 \theta $

در نتیجه زاویه $ DEF=2 \theta $

چون مثلث EDF متساوی الساقین است

پس زاویه $ DFE=2 \theta $

و چون $ CDF+ \theta =2 \theta $

پس مثلث FCD متساوالساقین در نتیجه CF=r

حال از فرض مسئله r+BD=CB=r+FB پس مثلث FBD متساوی الساقین

پس زاویه $ FDB=2 \theta $

حال از زوایای داخلی مثلث FDB داریم

$FDB+DFB+DBF=2 \theta +2 \theta + \frac{ \theta }{2} =180$

در نتیجه $ \theta =40$

A=100

توسط MSS (1,654 امتیاز)
+1
بسیار عالی. فقط اضافه کردن نقطه G بیهوده است و بدون آن هم اثبات کامل است.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...