در مثلث $ABC$ با $AB=AC$ و $A=20$، روی ساق $AC$ نقطهای به نام $F$ چنان انتخاب میکنیم که $AF=BC$. زاویهٔ $BFC$ را بیابید.

Question

در شکل زیر اگر $AB=AC$ و زاویهٔ $\widehat{A}$ برابر $20$ درجه باشد، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $x$ را بیابید.

Comments

جواب کلیش 30 درجه

Answer 1

مثلت $ABC$ متساوي الساقين است پس اندازه زواياي روبروي ساقها باهم برابرند و $A =20$ پس $B = C=(180-20)/2=80$ .

مثلث $EAD$ را همنهشت با مثلث $ABC$ با قاعده $AD$ رسم مي كنيم و از $E$ به $B$ وصل می کنیم لذا داریم : $$\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = \hat{D_{1}} = \hat{B} = \hat{C} =80 \quad , \hat{A_{2}}=20$$

لذا داریم $\hat{A_{1}}=60$ و $AB=AE$ . بنابر این مثلث $ABE$ متساوی الاضلاع است پس داریم : $$\hat{E_{1}}+\hat{E_{2}}=60 \quad , DE=AE=EB \quad , \hat{E_{1}}=\hat{A_{2}}=20 \Rightarrow \hat{E_{2}}=40$$

پس مثلث $EBD$ متساوی الساقین با زاویه راس $40$ درجه است. بنابراین $$E \hat{D} B= E \hat{B} D = \frac{180-40}{2} =70 \Rightarrow \hat{D_{1}}=80 \quad , \hat{D_{2}}=70$$ $$x=180-(70+80)=30$$

Answer 2

ابتدا مثلث $AED$ را همنهشت با مثلث ابتدایی رسم میکنیم. سپس از نقطه$E$ به$B$وصل میکنیم چون دو مثلث همنهشت هستند لذا داریم: $$\widehat{E} _{1}=\widehat{A} _{2}=20 \ \ \ , \widehat{A} _{1}+\widehat{A} _{2}=\widehat{D} _{1}= \widehat{C} = \widehat{B}=80$$ از اینکه $\widehat{A} _{1}+\widehat{A} _{2}=80$ و $\widehat{A} _{2}=20$ نتیجه میگیریم که $\widehat{A} _{1}=60$ و همچنین برای ضلعها داریم: $AC=AB=AE$ یعنی مثلث $AEB$ متساوی الساقین است ولی چون $\widehat{A} _{1}=60$ لذا متساوی الاضلاع است. و داریم: $$\widehat{E} _{1}+\widehat{E} _{2}=60 \Rightarrow \widehat{E} _{2}=40 , \ \ \ \ EB=AB=ED$$ و این بدین معنیه که مثلث $EDB$ متساوی الساقین است وراس آن هم 40 است پس باید $\widehat{D} _{2}=70$ باشد حال از رابطه ی $x+\widehat{D} _{1}+\widehat{D} _{2}=180$ داریم: $$x=180-80-70=30$$