در مثلث $ABC$ با $AB=AC$ و $A=20$، روی ساق $AC$ نقطهای به نام $F$ چنان انتخاب میکنیم که $AF=BC$. زاویهٔ $BFC$ را بیابید.

Question

در شکل زیر اگر $ AB=AC $ و زاویهٔ $ \widehat{A} $ برابر $20$ درجه باشد، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $ x$ را بیابید.

Comments

جواب کلیش 30 درجه

Answer 1

مثلت $ ABC $ متساوي الساقين است پس اندازه زواياي روبروي ساقها باهم برابرند و $ A =20 $ پس $ B = C=(180-20)/2=80 $ .

مثلث $ EAD $ را همنهشت با مثلث $ABC $ با قاعده $ AD $ رسم مي كنيم و از $ E$ به $ B $ وصل می کنیم لذا داریم : $$ \hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = \hat{D_{1}} = \hat{B} = \hat{C} =80 \quad , \hat{A_{2}}=20 $$

لذا داریم $\hat{A_{1}}=60 $ و $AB=AE $ . بنابر این مثلث $ABE $ متساوی الاضلاع است پس داریم : $$ \hat{E_{1}}+\hat{E_{2}}=60 \quad , DE=AE=EB \quad , \hat{E_{1}}=\hat{A_{2}}=20 \Rightarrow \hat{E_{2}}=40 $$

پس مثلث $ EBD $ متساوی الساقین با زاویه راس $40 $ درجه است. بنابراین $$ E \hat{D} B= E \hat{B} D = \frac{180-40}{2} =70 \Rightarrow \hat{D_{1}}=80 \quad , \hat{D_{2}}=70 $$ $$ x=180-(70+80)=30 $$

Answer 2

ابتدا مثلث $AED $ را همنهشت با مثلث ابتدایی رسم میکنیم. سپس از نقطه$E$ به$B$وصل میکنیم چون دو مثلث همنهشت هستند لذا داریم: $$ \widehat{E} _{1}=\widehat{A} _{2}=20 \ \ \ , \widehat{A} _{1}+\widehat{A} _{2}=\widehat{D} _{1}= \widehat{C} = \widehat{B}=80 $$ از اینکه $\widehat{A} _{1}+\widehat{A} _{2}=80 $ و $\widehat{A} _{2}=20 $ نتیجه میگیریم که $\widehat{A} _{1}=60 $ و همچنین برای ضلعها داریم: $AC=AB=AE $ یعنی مثلث $AEB $ متساوی الساقین است ولی چون $\widehat{A} _{1}=60 $ لذا متساوی الاضلاع است. و داریم: $$\widehat{E} _{1}+\widehat{E} _{2}=60 \Rightarrow \widehat{E} _{2}=40 , \ \ \ \ EB=AB=ED $$ و این بدین معنیه که مثلث $ EDB $ متساوی الساقین است وراس آن هم 40 است پس باید $ \widehat{D} _{2}=70 $ باشد حال از رابطه ی $ x+\widehat{D} _{1}+\widehat{D} _{2}=180 $ داریم: $$ x=180-80-70=30 $$