چگونه مربع وفقی بسازیم، جدول $n$ در $n$ که جمع درایههای روی سطرها، ستونها و دو قطرش برابر با عدد ثابتی شوند.

Question

چگونه مربع وفقی ۳ در ۳، یا ۴ در ۴، یا ۵ در ۵ بسازیم که حاصل جمع ردیف‌های افقی، عمودی یا قطری عدد مشخصی مثلا ۱۰۰ شود؟

Comments

بله اما فقط مربع هایی به اضلاع فرد میتوان ساخت که مجموع سطر ها و ستون هایش هم باید مضرب طول ضلعش باشد

Answer 1

برای ساخت مربع های وفقی در سایز های متفاوت راه های متنوعی هست که هر کدام محدودیت هایی دارد و درج تمام روش ها برای تمام سایز ها در اینجا مقدور نیست.

ضمنا مربع های وفقی بسیار متنوع هستند. مثلا مربع های طوق دار، هم قطر، زوج الزوج و ....

در اینجا یکی از ساده ترین روش ها رو (از نظر من! ممکنه روشهای ساده تری هم باشه) برای ساخت مربع های n ضلعی با اعداد طبیعی (شروع از 1) به شرطی که n فرد باشه رو توضیح می دهم.

لازم به توضیح نیست که برای ساخت یک مربع با n ضلع کل اعداد استفاده شده $n^{2}$ خواهد بود و مجموع هز یک از اقطار و سطور و ستون ها نیز برابر $\frac{1}{2} n( n^{2} +1)$ خواهد بود.

راه کار:

ابتدا عدد 1 را در خانه وسط سطر بالا قرار دهید. (چون n فرد است بنابراین خانه وسط دارد که شماره خانه برابر است با: $\begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}+1$) سپس به سمت پایین، ستون به ستون حرکت اسب را انجام دهید. وقتی به هر ضلع مربع رسیدید، از ضلع روبه رو ادامه دهید (برای تعیین خانۀ بعدی تصور کنید که مربع روی صفحه تکرار می شود). کار را تا نوشتن عدد n دنبال کنید. بعد از n دیگه نمی تونید ادامه بدید چون خانۀ بعدی پر شده. پس این کار رو متوقف کنید و از خانه ای که هستید 4 خانه به سمت پایین بیایید و به هر خانه ای رسیدید (حتما خالی است) عدد بعدی رو بنویسید. اینطوری ادامه بدید تا کل مربع پر بشه.

در تصویر به صورت شماتیک توضیح دادم. به علت اینکه تصویر زیاد شلوغ می شد فقط پیکانهای مربوط به دو مرحله اول رو رسم کردم. (حتما تصویر رو ببینید)