با استفاده از بسط زیر :
$$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\approx \ln (1+x+\frac12x^2)\approx x+\frac12x^2-\frac12x^2 \approx x$$
و همچنین :
$$\ln (1+x) \approx x-\frac{x^2}2$$
زمانی که $x$ به سمت صفر میل میکند . در نتیجه حاصل حد برابر خواهد شد با :
$$\begin{aligned}L
&=\lim _{x\to 0}\left(\frac{\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+1\right)\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}\right)
\\&=\lim _{x\to 0}\left(\frac{x-\frac{1}{2}x^2-x}{\left(x-\frac{1}{2}x^2\right)\left(x\right)}\right)
\\&=\lim _{x\to 0}\left(\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2-\frac{x^3}{2}}\right)
\\&=\color{red}{-\frac{1}{2}}\end{aligned}$$
