انتگرال $ \int_0^ \infty e^{- x^{2} } $

Question

سلام لطفا راه حل تشریحی $ \int_0^ \infty e^{- x^{2} } $ را بگید چون پاسخش $ \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} $ را دارم و از راه های مختلفی مثل سری تیلور تابع رفتم به این جواب نرسیدم

ممنون میشم راهنمایی کنید.

Answer 1

قرار دهید $I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ در اینصورت $$\begin{align}I^2&=I\times I\\ &=\int_0^\infty e^{-x^2}dx\times \int_0^\infty e^{-y^2}dy\\ &=\iint_R e^{-(x^2+y^2)}dxdy\quad ,R=ربع اول\\ &=\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty e^{-r^2}rdrd\theta\\ &=\frac{\pi}2\int_0^\infty e^{-r^2}dr\\ &=\frac{\pi}2 (\frac{-1}2)\int_0^\infty -2e^{-r^2}rdr\\ &=\frac{\pi}2(\frac{-1}2)(e^{-r^2})\mid_0^\infty\\&=\frac{\pi}2(\frac{-1}2)(0-1)\\ &=\frac{\pi}4\end{align}$$ بنابراین $I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Comments

ممنون از پاسخ شما