به دو روش این مساله رو حل می کنیم.
الف) روش حل ریاضی
ابتدا مساله رو برای خودم شرح می دهم.
من اضلاع مثلث رو به ترتیب از کوچک به بزرگ a دومی را b و بزرگترین رو که قاعدتا باید وتر باشد c در نظر می گیرم.
دنباله را نیز با همین ترتیب در نظر می گیرم.
$a \leq b \leq c$
حال اطلاعات مساله را می نویسم.
محیط برابر 48 است. یعنی $a+b+c=48$
تصاعد حسابی است. اگر من متغیر قدر نسبت رو هم به مساله اضافه کنم تعداد متغیرهام بیشتر می شه. پس از واسطه حسابی استفاده می کنم.$b= \frac{a+c}{2} \Rightarrow a+c=2b$
قضیه فیثاغورث: $ a^{2}+ b^{2}= c^{2} $
حال سه معادله داریم و سه مجهول. بنابراین در صورت وجود جواب می تونیم جوابها رو بیابیم.
از رابطه دومی که نوشتیم استفاده کرده و مقدار a+c را که برابر 2b است در رابطه اول جایگذاری می کنیم. لذا خواهیم داشت:
$a+b+c=48 \Rightarrow 2b+b=48 \Rightarrow 3b=48 \Rightarrow b= \frac{48}{3} \Rightarrow b=16 $
پس b رو پیدا کردیم. حال دو معادله دیگر (یعنی معادله دوم و سوم) را با جایگذاری 12 به جای b بازنویسی می کنیم.
$
\begin{cases}a+c=2b\\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}a+c=32\\ a^{2} + 16^{2} = c^{2} \end{cases}
$
حال مانند یک دستگاه دو معادله دو مجهولی حلش می کنیم. از روش جایگزینی استفاده می کنم و در معادله دوم به جای a می زارم 32-c. بدیهی است که این مقدار رو از معادله اول دستگاهم به دست آوردم.
پس داریم: (معادله دوم دستگاه)
$
(32-c)^{2} + 16^{2} = c^{2}
\Rightarrow
32^{2} + c^{2} -2(32)(c)+ 16^{2} = c^{2}
\Rightarrow
32^{2} + 16^{2} =64c
\Rightarrow 1280=64c \Rightarrow c= \frac{1280}{64} =20 \Rightarrow c=20
$
پس مقدار c رو ه یافتیم. کافیست این مقدار رو تو معادله اول دستگاه جایگذاری کنیم.
$a+c=32 \Rightarrow a+20 = 32 \Rightarrow a=32-20=12 \Rightarrow a=12$
بنابراین اضلاع مثلث به ترتیب 12، 16 و 20 هستند.
ب) روش دوم:
اعداد فیثاغورثی زیاد نیستند. ما می تونیم اعداد فیثاغورثی رو تست کنیم. مثلا 3و4و5
اما حاصلجمع اینها که 48 نمی شه. پس بباید یه ضریب ماننده k براشون پیدا کنیم:
$k(3+4+5)=48 \Rightarrow 12k=48 \Rightarrow k=4$
پس شاید اگر اضلاع مدنظرمون یعنی 3و4و5 رو در این ضریب ضرب کنیم جواب مساله باشه.
یعنی 12و16و20
اگر این مقادیر رو تو فرضهای مساله جایگذاری کنید می بینید که جواب رو پیدا کردیم.
حال که اضلاع پیدا شدند، مساحت به راحتی محاسبه می شه:
$s= \frac{12 \times 16}{2}=96 $
