تعداد حاصل های ممکن برای یک جمع شش تایی از عددهای ۰ و ۳ و ۴ و ۵ را بیابید.

Question

در جاهای خالی زیر می‌توان عددهای ۰ و ۳ و ۴ و ۵ قرار داد و تکرار نیز جایز است. با جایگذاری‌های متفاوت می‌توان به حاصل‌های متفاوتی برای این جمع رسید. تعداد عددهای ممکن برای حاصل این جمع را بیابید.

$$\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc + \bigcirc + \bigcirc + \bigcirc$$

Answer 1

بیشترین مقداری که می توان به دست آورد , 5+5+5+5+5+5=30 , می باشد .پایینترین مقدار هم 0+0+0+0+0+0=0 می باشد . پس تا بدین جا می توان گفت بازه ی جواب عای ما از 0 تا 30 می تواند باشد که می شود 31 جواب . از طرفی اعداد 1 و 2 را نمی توانیم استفاده کنیم که در اینصورت نمی توان جواب های 1و 2 را نیز به دست آورد . در نتیجه در کل 29 جواب را می توان به دست آورد .

Comments

لطفا در هر مرحله از همه ی ارقام استفاده شود.

---

@امیررضاـصفویـنژاد شما تا اینجا نشان دادید که مجموعهٔ حاصل‌ها زیرمجموعهٔ $\lbrace 0,1,2,\cdots,30\rbrace-\lbrace 1,2\rbrace$ است ولی نشان ندادید که هر عددی از این مجموعه قابل اتخاذ است پس هنوز پاسخ‌تان ناقص محسوب می‌شود. @rezasalmanian دیدگاهتان مبهم است، لطفا واضح‌تر بگوئید که چه می‌خواستید بگوئید. در ضمن متن و عنوان پرسش را نیز ویرایش کردم، تفاوت را مقایسه کنید.

Answer 2

اگر خواسته ی سوال تنها تعداد پاسخ هاست و خود پاسخ ها مدنظر نیست میتوان از راه زیر استفاده کرد:

از آنجا که باید از هر ۴ عدد مذکور استفاده کرد و در کل ۶ عدد باید جمع شوند،پس در تمامی حالات داریم:

0+3+4+5=۱۲

حالا دو جایگاه می ماند که باید هر بار ۲ عدد از آن ۴ عدد انتخاب شود،پس ۴ عدد داریم و چون اعداد میتوانند تکراری باشند،پس هر کدام میتواند با ۴ عدد دیگر جمع شود،با حذف حالات تکراری(منظور مثلا ۳+۴ و ۴+۳ است که یکبار باید آن را بشماریم) ۱۰ حالت داریم، و چون ۴ واسطه حسابی بین ۳و۵ است ،پس ۲×۴=۳+۵ پس این مجموع هم تکراری است، و در کل ۹ مجموع متمایز خواهیم داشت‌.

و اگر نیاز به بدست اوردن حاصل ها نیز هست،خواهیم داشت:

0+0=0->12+0=12

0+3=3->۱۲+۳=۱۵

0+4=4->۱۲+۴=۱۶

0+5=5->۱۲+۵=۱۷

3+3=6->۱۲+۶=۱۸

3+4=7->۱۲+۷=۱۹

3+5=۸->۱۲+۸=۲۰

4+4=۸->۱۲+۸=۲۰

4+5=۹->۱۲+۹=۲۱

5+5=۱۰->۱۲+۱۰=۲۲

که البته مجموع ۲۰ دوبار تکرار شده و ۹ مجموع متفاوت به شرح زیر داریم:

۱۲،۱۵،۱۶،۱۷،۱۸،۱۹،۲۰،۲۱،۲۲