مشکل در درک تعریف ایده آل های دارای خارج قسمت‌های خطی

Question

تعریف: فرض کنیم ‎$ I $‎ ایده‌آلی همگن از ‎$R$‎ باشد. گوییم ‎$ I $‎ دارای خارج قسمت‌های خطی است، اگر یک مجموعه مولد مینیمال از عناصر همگن ‎$ I $‎، مانند ‎$ g_{1},\ldots‎ ,‎g_{m} $‎ موجود باشد، به طوری که برای هر ‎$ i $‎، ایده‌آل ‎$ (g_{1},\ldots,g_{i-1}):g_{i} $‎ توسط عناصر از درجه‌ی $1$‎ تولید شود.

یک مثال برای این تعریف می‌آورید؟

Answer 1

ایده آل $I=(def,cef,cdf,cde,bef) $ در حلقه ی$K[a,b,c,d,f] $ دارای خارج قسمت های خطی یا همان$Linear \ quotients $ است چون داریم:

$i=2 $:

$$( (g_{1}):g_{2} )=((def):cef ) =(d)$$ در این حالت توسط عناصر خطی تولید می شود.

$i=3 $:

$$( (g_{1},g_{2}):g_{3} )=((def,cef ):cdf) = (e)$$ در این حالت توسط عناصر خطی تولید می شود.

$i=4 $:

$$( (g_{1},g_{2},g_{3}):g_{4} )=((def,cef ,cdf):cde) = (f)$$ در این حالت توسط عناصر خطی تولید می شود.

$i=5 $:

$$( (g_{1},g_{2},g_{3},g_{3}):g_{5} )=((def,cef ,cdf,cde):bef) = (c,d)$$ در این حالت هم توسط عناصر خطی تولید می شود. و حکم ثابت شد

مثال برای اینکه دارای خارج قسمت های خطی نیست:

$ I=(cdf,cde,bef) $

$i=2 $:

$$( (g_{1}):g_{2} )=((cdf):cde) =(f)$$ در این حالت توسط عناصر خطی تولید می شود.

$i=3 $:

$$( (g_{1},g_{2}):g_{3} )=((cdf,cde ):bef) = (cd)$$ در این حالت توسط عناصر خطی تولید نمی شود. لذا دارای خارج قسمت های خطی نیست