به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
57 بازدید
در دانشگاه توسط af
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید$I,J$دو ایده ال مونومیال باشند در این صورت گزاره های زیر راثابت یا رد کنید:

$1$) اگر$I$ خالی از مربع باشد انگاه $I:J$ نیز خالی از مربع است.

$2$)اگر $J$ خالی از مربع باشد انگاه $I:J$ نیز خالی ازمربع است

$3$) اگر$I:J$ خالی از مربع باشد انگاه $I$ نیز خالی از مربع است.

$4$)اگر $I:J$ خالی از مربع باشد $J$ نیز خالی از مربع میباشد

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

نخست برای سه حالت ۲ تا ۴ مثال نقض می‌زنیم.

۲) $$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x^2\rangle$$ ۳) $$I:=\langle x^2\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$ ۴) $$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x^2\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$

اکنون حالت یکم را ثابت می‌کنیم. توجه کنید که خارج قسمت دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای‌ها بسیار ساده محاسبه می‌شود. اگر می‌خواهید $I\colon J$ را محاسبه کنید تنها کافیست یک مولد از تک‌جمله‌ای‌ها برای ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای‌تان بردارید آنگاه یک مولد تک‌جمله‌ای برای $I\colon J$ برابر است با مجموعهٔ همهٔ خارج‌قسمت‌های اعضای مولدِ $I$ بر روی ب.م.مِ آنها و اعضای مولدِ $J$.

نمونه: به فرض $I=\langle x^2y,z^3\rangle$ و $J=\langle x,yz\rangle$، در اینصورت: $$\begin{array}{ll} I:J & =\langle\frac{x^2y}{(x,x^2y)},\frac{x^2y}{(yz,x^2y)},\frac{z^3}{(x,z^3)},\frac{z^3}{(yz,z^3)}\rangle\\ & =\langle xy, x^2, z^3, z^2\rangle\\ & =\langle x^2, xy, z^2\rangle \end{array}$$ اکنون باید برایتان واضح باشد که چرا (۱) برقرار است. زمانیکه صورت کسرها خالی از مربع باشد آشکارا حاصل نیز خالی از مربع است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...