به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
63 بازدید
در دانشگاه توسط af
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید$I,J$دو ایده ال مونومیال باشند در این صورت گزاره های زیر راثابت یا رد کنید:

$1$) اگر$I$ خالی از مربع باشد انگاه $I:J$ نیز خالی از مربع است.

$2$)اگر $J$ خالی از مربع باشد انگاه $I:J$ نیز خالی ازمربع است

$3$) اگر$I:J$ خالی از مربع باشد انگاه $I$ نیز خالی از مربع است.

$4$)اگر $I:J$ خالی از مربع باشد $J$ نیز خالی از مربع میباشد

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein

نخست برای سه حالت ۲ تا ۴ مثال نقض می‌زنیم.

۲) $$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x^2\rangle$$ ۳) $$I:=\langle x^2\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$ ۴) $$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x^2\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$

اکنون حالت یکم را ثابت می‌کنیم. توجه کنید که خارج قسمت دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای‌ها بسیار ساده محاسبه می‌شود. اگر می‌خواهید $I\colon J$ را محاسبه کنید تنها کافیست یک مولد از تک‌جمله‌ای‌ها برای ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای‌تان بردارید آنگاه یک مولد تک‌جمله‌ای برای $I\colon J$ برابر است با مجموعهٔ همهٔ خارج‌قسمت‌های اعضای مولدِ $I$ بر روی ب.م.مِ آنها و اعضای مولدِ $J$.

نمونه: به فرض $I=\langle x^2y,z^3\rangle$ و $J=\langle x,yz\rangle$، در اینصورت: $$\begin{array}{ll} I:J & =\langle\frac{x^2y}{(x,x^2y)},\frac{x^2y}{(yz,x^2y)},\frac{z^3}{(x,z^3)},\frac{z^3}{(yz,z^3)}\rangle\\ & =\langle xy, x^2, z^3, z^2\rangle\\ & =\langle x^2, xy, z^2\rangle \end{array}$$ اکنون باید برایتان واضح باشد که چرا (۱) برقرار است. زمانیکه صورت کسرها خالی از مربع باشد آشکارا حاصل نیز خالی از مربع است.

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...