اشتراک ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای $m$-تجزیه‌ناپذیر، $m$-تجزیه‌ناپذیر است.

Question

فرض کنید $J_1 \supseteq J_2 \supseteq ...$ یک زنجیر کاهشی از ایده‌آل‌های تک‌جمله‌ای $m$-تحویل‌ناپذیر باشد. ثابت کنید $\cap_lJ_l$ نیز تحویل ناپذیر است.

Comments

در نوشتن اندیس‌ها دقت کنید. زمانیکه زنجیر ایده‌آل‌هایتان را با $j_1\supset j_2\supset \ldots$ نمایش دادید، اشتراکشان به شکل $\cap_{l}j_l$ نشان می‌دهند نه $\cap j$. شما $j_l$ها را تعریف کرده‌اید و نماد $j$ بی‌معناست چون تعریف نشده‌است و به خودی خود به معنای $j_l$ نست. بعلاوه بهتر است ایده‌آل را با حرف بزرگ نمایش دهید. شاید در نرم‌افزار مکوآلی با حرف کوچک نمایش بدهید اما آن دلایل نرم‌افزاری خودش را دارد (در نرم‌افزارهای دیگر این‌گونه نیست که متداول باشد از حرف کوچک برای ایده‌آل استفاده کنید مانند Maple که کاملا آزاد هستید در نامگذاری به غیر از اینکه حرف بزرگ I برای عدد موهومی رذرف شده‌است).

Answer 1

با توجه به قضیهٔ ۳.۳.۱ بخش ۳.۱ که پرسش شما تمرینی از این بخش است (تمرین ۳.۱.۱۲) (نسخهٔ ۱۵ ژانویهٔ ۲۰۱۵) باید دیده باشید که یک ایده‌آل تک‌جمله‌ای $m$-ناخردشدنی ($m$-تجزیه‌ناپذیر) مانند $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ است اگر و تنها اگر یک مولد به شکل $\langle x_{i-1}^{a_1},\ldots,x_{i_k}^{a_k}\rangle$ داشته باشد که $i_j$ ها از بین یک تا $n$ انتخاب شده‌اند و $a_j$ها اعدادی طبیعی هستند. در واقع در اثبات می‌بینید که مولد غیرقابل کاهششان نیز باید این گونه باشد. اینکه اشتراک یک تعداد ایده‌آل، ایده‌آل می‌شود را می‌دانید. اکنون در اینجا نکته اینجاست که مولد غیرقابل کاهش $J_l$ها را در نظر بگیرید. برای یکمی یک سری متغیر انتخاب شده‌اند با یک سری توان طبیعی. برای دومی نیز همین‌گونه. اما اگر متغیر اضافه‌تری داشته باشد آنگاه داخل پیشین قرار نمی‌گیرد بعلاوه اگر توان‌های متغیرهای انتخاب شده‌اش کمتر اکید از توان متغیر انتخاب‌شده‌شان در ایده‌آل پیشین باشد آنگاه دوباره با زیرمجموعه بودنش در قبلی به مشکل برمی‌خوریم. پس در هر گام می‌توانیم از بین متغیرهای انتخاب شده در گام پیشین انتخاب داشته باشیم و توان باید بزرگتر یا مساوی توان نظیرش در قبلی باشد. اگر متغیری در یکی از اعضای اشتراک (و در نتیجه در همه از آنجا به بالا) نباشد، آنگاه در اشتراک نیز ظاهر نمی‌شود. اکنون متغیری را در نظر بگیرید که در تمامی اعضای زنجیر هست. اگر دنبالهٔ توان‌هایش در مولدهای اعضای این زنجیر از ایده‌آل‌ها از بالا کراندار باشد آنگاه از مرحله‌ای به بعد توانش ثابت می‌شود و در نتیجه در مولد ایده‌آل اشتراک نیز با آن توان ظاهر می‌شود. اگر دنبالهٔ توانهایش از بالا بی‌کران باشد می‌توانید ثابت کنید که هیچ چندجمله‌ای (و در نتیجه تک‌جمله‌ای) دارای این متغیر در اشتراک قرار نمی‌گیرد. پس یک مولد برای ایده‌آل اشتراکی که می‌خواهید به شکل یک سری متغیر انتخاب شده با توان‌هایی طبیعی درآمد. این ایده‌آل تک‌جمله‌ای و $m$-تجزیه‌ناپذیر بودنش را نشان می‌دهد.