تمرینهای ۲.۵.۱۰ و ۲.۵.۱۲ بخش ۵ کتاب یادشده در مرجع نسخهٔ ۱۵ ژانویهٔ ۲۰۱۵ را خواستهاید.
یک عدد طبیعی $k$ای را ثابت بگیرید. ایدهآل $J^{[k]}$ توسط $f_i^k$هایی تولید میشود که $f_i$ها مولدی برای $J$ هستند. چون $f_i$ها عضو $J$ هستند پس توانشان نیز در آن است و در نتیجه ترکیبات آنها یعنی اعضای $J^{[k]}$ نیز در آن قرار میگیرند. در نتیجه $J^{[k]}\subseteq J$. اکنون چون داریم برای هر دو ایدهآل که یکی زیر دیگری است، رادیکالهایشان نیز همین رابطه را حفظ خواهندکرد، داریم $\sqrt{J^{[k]}}\subseteq\sqrt{J}$. برای اثبات سمت دیگر، توجه کنید که اگر عنصری در $\sqrt{J}$ باشد آنگاه توانی از آن داخل $J$ بودهاست. پس باید هر جمله از این توان در $J$ باشد (چون $J$ ایدهآل تکجملهای است) و درنتیجه باید مضربی از $f_i$ ها باشد. اما $(f_i^k)^1$ها درون $J^{[k]}$ هستند و در نتیجه باید $f_i$ها خودشون در $\sqrt{J^{[k]}}$ قرار بگیرند و درنتیجه آن ترکیب که توان آن عنصر بود نیز در $\sqrt{J^{[k]}}$ قرار خواهدگرفت. پس $\sqrt{J^{[k]}}=\sqrt{J}$.
اکنون بخش دوم بدیهی است. زمانیکه دو ایدهآل مساوی هستند، رادیکالشان نیز مساوی است. و چون رادیکالِ رادیکال برابر با رادیکال است پس خودشان میشوند. بعلاوه وقتی دو ایدهآل مساوی هستند، مجموعهٔ تکجملهایهایشان نیز مساوی است و زمانی که دو مجموعه مساوی هستند، ایدهآل تشکیل شدهبوسیلهٔ آنها نیز مساوی خواهد شد. پس عملا چیز خاصی در این بخش نیست.
$$\sqrt{J^{[k]}}=\sqrt{J}\Longrightarrow\text{m-rad}(J^{[k]})=\text{m-rad}(J)$$
