آیا ضرب توان کروشه‌ای دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای با توان کروشه‌ای ضربشان برابر است؟

Question

اگر $I$ و $J$ دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای باشند، نشان دهید برای هر عدد طبیعی $n$ داریم:

$$(IJ)^{[n]}=I^{[n}]J^{[n]}$$

Comments

لطفا سوال را روی کاغذ نوشته و عکس آن را قرار دهید(بهتر است راهنمای تایپ در سایت را کامل مطالعه نمایید، سوال نامفهوم است)

---

شمارهٔ صفحه و تمرین را نیز به غیر از نام کتاب اشاره فرمائید.

---

امیدوار بودم یک ویرایشی برای پرسش‌هایتان انجام بدهید پس از اینکه چند نفر اشاره کردند و مدت طولانی‌ای در این سایت عضو هستید، نه اینکه متنی وارد کنید و انتظار داشته‌باشید هر دفعه دیگران برایتان ویرایش کنند.

Answer 1

پرسش‌تان تمرین ۲.۵.۱۴ بخش ۱.۵ کتاب یادکرده‌تان در بخش مرجع است نسخهٔ ۱۵ ژانویهٔ ۲۰۱۵.

از بند (الف) گزارهٔ ۲.۵.۳ می‌دانید که اگر یک مولد برای ایده‌آل تک‌جمله‌ای‌ای برداری، آنگاه یک مولد برای توان کروشه‌ایِ $n$اُمِ آن برابر با مجموعهٔ توان $n$اُمِ اعضای مولد ایده‌آل‌تان می‌باشد. اکنون $I=\langle f_1,\ldots,f_p\rangle$ و $J=\langle g_1,\ldots,g_q\rangle$ را دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای بردارید. یک مولد برای $IJ$ برابر است با مجموعهٔ $f_ig_j$ها. در نتیجه یک مولد برای $(IJ)^{[n]}$ برابر است با مجموعهٔ $(f_ig_j)^n$ها که برابر با مجموعهٔ $f_i^ng_j^n$ ها می‌شود. از طرفی یک مولد برای $I^{[n]}$ و $J^{[n]}$ برابر است با مجموعهٔ $f_i^n$ها و مجموعهٔ $g_j^n$ها، به ترتیب. پس مولدی برای $I^{[n]}J^{[n]}$ برابر است با مجموعهٔ $f_i^ng_j^n$ها که همان مولد ایده‌آل سمت دیگر است. پس هر دو ایده‌آل سمت چپ و سمت راست تساوی خواسته‌شده برابر هستند.