نخست برای سه حالت ۲ تا ۴ مثال نقض میزنیم.
۲)
$$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x^2\rangle$$
۳)
$$I:=\langle x^2\rangle, J=\langle x\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$
۴)
$$I:=\langle x^3\rangle, J=\langle x^2\rangle \Longrightarrow I\colon J=\langle x\rangle$$
اکنون حالت یکم را ثابت میکنیم. توجه کنید که خارج قسمت دو ایدهآل تکجملهایها بسیار ساده محاسبه میشود. اگر میخواهید $I\colon J$ را محاسبه کنید تنها کافیست یک مولد از تکجملهایها برای ایدهآلهای تکجملهایتان بردارید آنگاه یک مولد تکجملهای برای $I\colon J$ برابر است با مجموعهٔ همهٔ خارجقسمتهای اعضای مولدِ $I$ بر روی ب.م.مِ آنها و اعضای مولدِ $J$.
نمونه: به فرض $I=\langle x^2y,z^3\rangle$ و $J=\langle x,yz\rangle$، در اینصورت:
$$\begin{array}{ll}
I:J & =\langle\frac{x^2y}{(x,x^2y)},\frac{x^2y}{(yz,x^2y)},\frac{z^3}{(x,z^3)},\frac{z^3}{(yz,z^3)}\rangle\\
& =\langle xy, x^2, z^3, z^2\rangle\\
& =\langle x^2, xy, z^2\rangle
\end{array}$$
اکنون باید برایتان واضح باشد که چرا (۱) برقرار است. زمانیکه صورت کسرها خالی از مربع باشد آشکارا حاصل نیز خالی از مربع است.
