تحت چه شرایطی ایده‌آل یالی دوجمله‌ای $J_{ G_{1} , G_{2} }$ دارای رابطه‌های خطی است.

Question

قضیه: فرض کنیم $G_{1}$ و $G_{2}$ دو گراف به ترتیب روی $[m]$ و $[n]$ باشند. در این صورت گزاره‌های زیر معادلند:

1.$J_{ G_{1} , G_{2} }$ دارای رابطه‌های خطی است.

2.$G_{1}$ و $G_{2}$ کامل هستند.

Answer 1

فرض کنید که

$$A_{*} : ... \rightarrow A_{i} \rightarrow A_{i-1} \rightarrow A_{i-2} \rightarrow ...$$

و

$$B_{*} : ... \rightarrow B_{j} \rightarrow B_{j-1} \rightarrow B_{j-2} \rightarrow ...$$

دو همبافت باشند. آنگاه $A_{*} \otimes B_{*}$ خود یک همبافت است و بصورت زیر تعریف می شود.

$(A_{*} \otimes B_{*} )_{n} = \bigoplus_{i+j=n} A_{i} \otimes B_{j}$

ابتدا فرض کنید $J_{ G_{1} , G_{2} }$ دارای $Linear \ resolution$ باشد لذا از آنجایی که مولدهای $J_{ G_{1} , G_{2} }$ همگن از درجه ی 2 است لذا $2- Linear \ resolution$ داریم یعنی $\beta _{i,i+2} \neq 0$ و به ازای هر $j \neq 2$ داریم $\beta _{i,i+j} =0$ پس طبق آنچه گفته شد $\beta _{1,4} =0$ .ثابت میکنیم هم $G_{1}$ و هم $G_{2}$ همبند هستند.

فرض خلف: فرض کنید $G_{2}$ دارای مولفه های همبندی $H_{1} ,..,H_{c}$ باشد. نشان میدهیم $Linear \ resolution$ برای $J_{ G_{1} , G_{2} }$ برابرضرب تنسوری $Linear \ resolution$ ها برای $J_{ G_{1} , H_{1} } ,...,J_{ G_{1} , H_{c} }$ است . دقت کنید هر $J_{ G_{1} , H_{i} }$ یک ایده آل در $S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H_{i})]$

ابتدا $Linear \ resolution$ ها برای $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } }$ و$\frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } }$ را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب تانسوری این دو برای $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes\frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } }$ یک $Linear \ resolution$ است سپس ثابت میکنیم $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }}$ که در آن $H^{'}$ گرافی با مولفه های همبندی $H_{1}$و $H_{2}$ است همچنین $S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H^{'})]$ سپس با استقرا حکم ثابت میشود.

طبق تعریف باید ثابت کنیم همبافت حاصل از ضرب تنسوری دو همبافت دقیق(منظور همان$free \ Linear \ resolution$ است) $A,B$ برای $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } }$ و$\frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } }$ خود دقیق است.طبق قضیه $Künneth$ دنباله ی دقیق زیر برقرار است:

$$0 \rightarrow \bigoplus_{i+j=n} H_{i} (A) \otimes H_{j} (B) \rightarrow H_{n} (A \otimes B) \rightarrow \bigoplus_{i+j=n-1} T_{1} ( H_{i} (A), H_{j} (B)) \rightarrow 0$$ اما از دقیق بودن همبافت های $A,B$ داریم $H_{i} (A) =H_{j} (B)=0$ لذا $H_{n} (A \otimes B)=0$ یعنی همبافت دقیق است.

همچنین اگر$B_{i} ,A_{i}$ آزاد با پایه ها ی$\{ e_{i} \} ,\{ f_{j} \}$ باشند آنگاه $A_{i} \otimes B_{i}$ آزاد با پایه ی $\{e_{i} \otimes f_{j} \}$ است.

حال قسمت آخر سوال می ماند یعنی اثبات $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }}$

برای اثبات از گزاره ی زیر در کتاب $Villareal \ R.H. \ Monomial \ algebras$ استفاده میکنیم.

گزاره ی $2.2.20$: اگر $A,B$ روی $K$با تولید متناهی باشند و$A \cong \frac{K[X]}{ I_{1} }$و $B \cong \frac{K[Y]}{ I_{2} }$آنگاه:

$A \otimes_{K} B \cong \frac{K[X,Y]}{ I_{1}+ I_{2}}$ و بوضوح $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } }$ و$\frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } }$ در شرایط گزاره صدق میکنند لذا حکم برقرار است.