فرض کنید که
$$ A_{*} : ... \rightarrow A_{i} \rightarrow A_{i-1} \rightarrow A_{i-2} \rightarrow ... $$
و
$$ B_{*} : ... \rightarrow B_{j} \rightarrow B_{j-1} \rightarrow B_{j-2} \rightarrow ... $$
دو همبافت باشند. آنگاه $ A_{*} \otimes B_{*} $ خود یک همبافت است و بصورت زیر تعریف می شود.
$ (A_{*} \otimes B_{*} )_{n} = \bigoplus_{i+j=n} A_{i} \otimes B_{j} $
ابتدا فرض کنید $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ دارای $ Linear \ resolution $ باشد لذا از آنجایی که مولدهای $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ همگن از درجه ی 2 است لذا $2- Linear \ resolution $ داریم یعنی $ \beta _{i,i+2} \neq 0 $ و به ازای هر $ j \neq 2$ داریم $ \beta _{i,i+j} =0$ پس طبق آنچه گفته شد $ \beta _{1,4} =0$ .ثابت میکنیم هم $G_{1} $ و هم $ G_{2} $ همبند هستند.
فرض خلف: فرض کنید $G_{2} $ دارای مولفه های همبندی $H_{1} ,..,H_{c} $ باشد. نشان میدهیم $ Linear \ resolution $ برای $ J_{ G_{1} , G_{2} } $ برابرضرب تنسوری $ Linear \ resolution $ ها برای $ J_{ G_{1} , H_{1} } ,...,J_{ G_{1} , H_{c} } $ است .
دقت کنید هر $ J_{ G_{1} , H_{i} } $ یک ایده آل در $ S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H_{i})]$
ابتدا $ Linear \ resolution $ ها برای $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ را در نظر میگیریم و ثابت میکنیم ضرب تانسوری این دو برای $\frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes\frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ یک $ Linear \ resolution $ است سپس ثابت میکنیم $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }} $ که در آن $ H^{'} $ گرافی با مولفه های همبندی $ H_{1} $و $H_{2} $ است همچنین $ S_{i}=K[ x_{ij} \mid i \in V( G_{1}), j \in V(H^{'})]$ سپس با استقرا حکم ثابت میشود.
طبق تعریف باید ثابت کنیم همبافت حاصل از ضرب تنسوری دو همبافت دقیق(منظور همان$free \ Linear \ resolution $ است) $ A,B $ برای $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2} }{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ خود دقیق است.طبق قضیه $Künneth$ دنباله ی دقیق زیر برقرار است:
$$0 \rightarrow \bigoplus_{i+j=n} H_{i} (A) \otimes H_{j} (B) \rightarrow H_{n} (A \otimes B) \rightarrow \bigoplus_{i+j=n-1} T_{1} ( H_{i} (A), H_{j} (B)) \rightarrow 0$$
اما از دقیق بودن همبافت های $ A,B $ داریم $ H_{i} (A) =H_{j} (B)=0 $ لذا $H_{n} (A \otimes B)=0$ یعنی همبافت دقیق است.
همچنین اگر$B_{i} ,A_{i} $ آزاد با پایه ها ی$\{ e_{i} \} ,\{ f_{j} \} $ باشند آنگاه $A_{i} \otimes B_{i} $ آزاد با پایه ی $ \{e_{i} \otimes f_{j} \}$ است.
حال قسمت آخر سوال می ماند یعنی اثبات $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } \otimes \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } \cong \frac{ S^{'} }{ J_{ G_{1} , H^{'} }} $
برای اثبات از گزاره ی زیر در کتاب $Villareal \ R.H. \ Monomial \ algebras $ استفاده میکنیم.
گزاره ی $2.2.20 $: اگر $ A,B $ روی $ K $با تولید متناهی باشند و$A \cong \frac{K[X]}{ I_{1} } $و $B \cong \frac{K[Y]}{ I_{2} } $آنگاه:
$A \otimes_{K} B \cong \frac{K[X,Y]}{ I_{1}+ I_{2}} $
و بوضوح $ \frac{ S_{1} }{J_{ G_{1} , H_{1} } } $ و$ \frac{ S_{2}}{J_{ G_{1} , H_{2} } } $ در شرایط گزاره صدق میکنند لذا حکم برقرار است.
