بدست آوردن $\beta_{1,3} (J_{G_{1},G_{2}})$(ایده‌آل یالی دوجمله‌ای) در حالات خاص

Question

نتیجه:فرض کنیم ‎$m,n\geqslant 3$‎ و ‎$t\geqslant 4$‎. آن‌گاه

1. ‎$\beta_{1,3} (J_{K_{m},K_{n}})=2( {\binom{m}{3}}{\binom{n+1}{3}+{\binom{n}{3}}{\binom{m+1}{3}}} )$‎.

2. ‎$\beta_{1,3}(J_{K_{m},C_{t}})=3t{\binom{m}{3}}$‎، که ‎$C_{t}$‎ یک دور روی ‎$t$‎ رأس می‌باشد.

3. ‎$\beta_{1,3}(J_{K_{m},T})=(2n+p_{3}(T)-2){\binom{m}{3}}$‎، که در آن، ‎$T$‎ یک درخت ‎$n$‎ رأس است. به ‌ویژه، ‎$\beta_{1,3}(J_{K_{m},P_{n}})=(3n-4){\binom{m}{3}}$‎.

Answer 1

طبق قضیه $2$ قسمت $(a)$ در همون مقاله اگر تعداد یالها را با $e(G)$، تعداد مسیر های به طول $3$ با $p_{3} (G)$، تعداد دورهای به طول $3$ را با $k_{3} (G)$ نمایش دهیم آنگاه داریم:

$$\beta_{1,3} (J_{G_{1},G_{2}})=2 e(G_{1})k_{3}(G_{2})+2 e(G_{2})k_{3}(G_{1})+k_{3}(G_{1})(p_{3}(G_{2})-k_{3}(G_{2}))+k_{3}(G_{2})(p_{3}(G_{1})-k_{3}(G_{1}))$$

حل$(3)$: در این قسمت گراف دوم درخت، لذا بدون دور و گراف اول کامل هستند. تعداد یالها برای گراف کامل با $m$ راس برابر ${\binom{m}{2}}$ و تعداد دورهای به طول $3$ برابرند با ${\binom{m}{3}}$ و در درخت با $n$ راس تعداد یالها برابر $n-1$ و تعداد دور ها صفر است لذا $$e(G_{1})={\binom{m}{2}} \ \ , k_{3}(G_{1})= {\binom{m}{3}} \ \ , e(G_{2})=n-1 \ \ , k_{3}(G_{2})= 0$$ پس با جایگذاری داریم: $$\beta_{1,3}(J_{K_{m},T})=2 {\binom{m}{2}} \times 0+2(n-1) {\binom{m}{3}}+ {\binom{m}{3}}(p_{3}(T) -0)+0(p_{3}(K_{m})-k_{3}(K_{m}))=2n{\binom{m}{3}}-2{\binom{m}{3}}+p_{3}(T){\binom{m}{3}}$$ در $P_{n}$ که درختی است که بصورت مسیری به طول $n$ است و تعداد مسیرهای به طول $3$ برابر $n-2$ است با جایگذاری حکم بدست می آید.(مسیر ها بصورت $( v_{1} ,v_{2},v_{3},v_{4})$و $( v_{2} ,v_{3},v_{4},v_{5})$و...و $( v_{n-3} ,v_{n-2},v_{n-1},v_{n})$است.)

حل$(2)$: در این قسمت گراف دوم دوری با $t$راس است لذا تعداد یالها هم برابر $t=e(G_{2})$ تعداد دورها برابر $0= k_{3}(G_{2})$ و تعداد مسیرهای به طول $3$ برابر $t$ است(مسیر ها بصورت $( v_{1} ,v_{2},v_{3},v_{4})$و $( v_{2} ,v_{3},v_{4},v_{5})$و...و $( v_{t-1} ,v_{t},v_{1},v_{2})$و$( v_{t} ,v_{1},v_{2},v_{3})$ است.)

پس با جایگذاری داریم: $$\beta_{1,3}(J_{K_{m},C_{t}})=2 {\binom{m}{2}} \times 0+2(t) {\binom{m}{3}}+ {\binom{m}{3}}(t -0)+0(p_{3}(K_{m})-{\binom{m}{3}})=3(t) {\binom{m}{3}}$$