اثبات رابطه ی ‎$ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq J_{G_{1},G_{2}}\cap K[Y] $در ایده‌آلهای یالی دوجمله‌ای

Question

گزاره: فرض کنیم ‎$ G_{1} $‎ و ‎$ G_{2} $‎ دو گراف‌، به ‌ترتیب، روی
‎$ [m] $‎ و ‎$ [n] $‎ باشند. اگر ‎$ H_{1} $‎ و ‎$ H_{2} $‎، به ‌ترتیب، زیرگراف‌هایی القایی از ‎$ G_{1} $‎ و ‎$ G_{2} $‎ باشند، آن‌گاه داریم:

به ازای هر $ i,j $‎،‎ ‎$ \beta_{i,j}^{K[Y]}(J_{H_{1},H_{2}})\leqslant \beta_{i,j}^{K[X]}(J_{G_{1},G_{2}}) ،$‎‎

سوال اینکه در اثبات گزاره چرا به وضوح ‎$ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq J_{G_{1},G_{2}}\cap K[Y] $‎ برقرار است؟

Answer 1

میدانیم منظور از $J_{H_{1},H_{2}}K[Y]$ این است که $ J_{H_{1},H_{2}} $ را ایده آلی در $K[Y] $ ببینیم.

نشان میدهیم که $ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq J_{G_{1},G_{2}} $ و $ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq K[Y] $

به ازای هر ایده آل دلخواه $ I$ از حلقه ی دلخواه $ R $ داریم:$IR \subseteq R$(طبق تعریف حلقه) لذا $ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq K[Y] $

و از آنجایی که $ K[Y] \subseteq K[X] $ لذا $ J_{H_{1},H_{2}}K[Y]\subseteq J_{H_{1},H_{2}}K[X]$ و از آنجایی که $J_{H_{1},H_{2}} K[X]\subseteq J_{G_{1},G_{2}} K[X]$ حکم ثابت شد.