طبق قضیه $ 2 $ قسمت $ (a) $ در همون مقاله اگر تعداد یالها را با $ e(G) $، تعداد مسیر های به طول $ 3$ با $p_{3} (G) $، تعداد دورهای به طول $ 3$ را با $k_{3} (G)$ نمایش دهیم آنگاه داریم:
$$\beta_{1,3} (J_{G_{1},G_{2}})=2 e(G_{1})k_{3}(G_{2})+2 e(G_{2})k_{3}(G_{1})+k_{3}(G_{1})(p_{3}(G_{2})-k_{3}(G_{2}))+k_{3}(G_{2})(p_{3}(G_{1})-k_{3}(G_{1}))$$
حل$(3)$: در این قسمت گراف دوم درخت، لذا بدون دور و گراف اول کامل هستند. تعداد یالها برای گراف کامل با $ m $ راس برابر $ {\binom{m}{2}}$ و تعداد دورهای به طول $ 3 $ برابرند با $ {\binom{m}{3}} $ و در درخت با $n$ راس تعداد یالها برابر $n-1$ و تعداد دور ها صفر است لذا
$$e(G_{1})={\binom{m}{2}} \ \ , k_{3}(G_{1})= {\binom{m}{3}} \ \ , e(G_{2})=n-1 \ \ , k_{3}(G_{2})= 0$$
پس با جایگذاری داریم:
$$ \beta_{1,3}(J_{K_{m},T})=2 {\binom{m}{2}} \times 0+2(n-1) {\binom{m}{3}}+ {\binom{m}{3}}(p_{3}(T) -0)+0(p_{3}(K_{m})-k_{3}(K_{m}))=2n{\binom{m}{3}}-2{\binom{m}{3}}+p_{3}(T){\binom{m}{3}}$$
در $P_{n}$ که درختی است که بصورت مسیری به طول $n $ است و تعداد مسیرهای به طول $3$ برابر $n-2 $ است با جایگذاری حکم بدست می آید.(مسیر ها بصورت $( v_{1} ,v_{2},v_{3},v_{4})$و $( v_{2} ,v_{3},v_{4},v_{5})$و...و $( v_{n-3} ,v_{n-2},v_{n-1},v_{n})$است.)
حل$(2)$: در این قسمت گراف دوم دوری با $t $راس است لذا تعداد یالها هم برابر $ t=e(G_{2}) $ تعداد دورها برابر $ 0= k_{3}(G_{2})$ و تعداد مسیرهای به طول $3 $ برابر $ t $ است(مسیر ها بصورت $( v_{1} ,v_{2},v_{3},v_{4})$و $( v_{2} ,v_{3},v_{4},v_{5})$و...و $( v_{t-1} ,v_{t},v_{1},v_{2})$و$( v_{t} ,v_{1},v_{2},v_{3})$ است.)
پس با جایگذاری داریم:
$$ \beta_{1,3}(J_{K_{m},C_{t}})=2 {\binom{m}{2}} \times 0+2(t) {\binom{m}{3}}+ {\binom{m}{3}}(t -0)+0(p_{3}(K_{m})-{\binom{m}{3}})=3(t) {\binom{m}{3}}$$
