نقطه M را روی خط y هابیابید بطوری که دوپاره خط،کمترین مجموع را داشته باشند

Question

دو نقطه $A= \begin{bmatrix}9 \\1 \end{bmatrix} $ و $B= \begin{bmatrix}6 \\6 \end{bmatrix} $ را درنظر بگیرید.نقطه M را روی محور $y$ ها طوری تعیین کنید که مقدار$ AM^{2} + BM^{2} $ کمترین میزان ممکن باشد. تلاش:میتوان AM بتوان دورا بصورت مجموع مربعات دو ضلع دیگر مثلث قائم الزاویه اش(9 بتوان دو بعلاوه مقدار M)نشان داد.همینطور BM بتوان دورا.ولی اسنگونه،کمترین میزان منفی است و واضحا غلط است چون طول هردو بیشتر میشود! 9

Answer 1

معادله مقدار مورد نظر را بدست می آوریم و با محاسبه مینیمم معادله بدست آمده جواب بدست می آید

داریم:

$$A=(9,1)\\ B=(6,6)$$

فرض کنیم:

$$M=(0,y)$$

درنتیجه:

$$AM^2=(0-9)^2+(y-1)^2\\=y^2-2y+82$$ $$BM^2=(0-6)^2+(y-6)^2\\=y^2-4y+40$$ $$f(y)=AB^2+BM^2=2y^2-6y+112$$

برای معادله بالا مینیمم را بدست میآوریم و از آن مقدار $y$ بدست می آید

با توجه به اینکه معادله درجه دو و تقعر رو به بالا پس یک مینیمم دادر و ماکسیمم ندارد

مشتق میگیریم و برابر صفر قرار میدهیم

$$f'(y)=4y-6=0\\ \Rightarrow y= \frac{3}{2} $$

در نتیجه

$$M=(0, \frac{3}{2}) $$