به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
304 بازدید
در دبیرستان توسط salar

حجم مخروط ناقص را محاسبه کنید

مخروط کامل با قاعده دایره میباشد

enter image description here

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein

توجه کنید که با توجه به اصل کاوالیری حجم شکلی که می‌خواهید با حجم مخروطی که هم‌ارتفاع (عمود متصل کنندهٔ نوک شکل/هرم به صفحهٔ حاویِ شکل قاعده‌اش) آن باشد برابر است. حجم یک مخروط نیز برابر با $\frac{1}{3}Sh$ است که در آن $h$ اندازهٔ ارتفاع و $S$ مساحت قاعده است. اندازهٔ ارتفاع را سریع‌تر می‌توانید تشخیص دهید پس نخست به سراغ آن می‌رویم. $h$ در واقع فاصلهٔ نقطهٔ $D$ از خط $AC$ است. این خط دارای معادلهٔ $y=z+2$ و $x=0$ است (از اینجا می‌توانید حدس بزنید که نام محورها را به چه ترتیبی گرفته‌ام). مختصات نقطهٔ $D$ نیز $(0,5,6)$ است، پس می‌توان با حالت دوبعدی صفحهٔ $yoz$ کار کرد. معادلهٔ خط را به شکل $y-z-2=0$ بنویسید، داریم؛ $$h=\frac{|(1)(5)+(-1)(6)+(-2)|}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$ اکنون به سراغ $S$ برویم. معادلهٔ مخروط اصلی برابر است با $x^2+(y-5)^2=\Big(\frac{3}{6}(z-6)\Big)^2$. قاعدهٔ شکلی که می‌خواهیم بیضی‌است که از قطع دادن این مخروط با صفحهٔ $y=z+2$ و $x$-ِ آزاد بدست آمده که معادله‌اش با دو برابری (تساوی) بیان می‌شود؛ $$y=z+2,\;\frac{x^2}{3}+\frac{(z-2)^2}{4}=1$$ (برابری دوم از جایگذاریِ $y=z+2$ در معادلهٔ مخروط بدست آمده‌است).

توجه کنید که اگر در حالت دوبعدی بودیم یعنی یکی از متغیرها صفر می‌بودمثلا $y=0$ آنگاه از برابریِ دوم مقدار $a$ و $b$ بیضی را داشتیم. ولی اینجا روی یک صفحهٔ مورب هستیم و به $a$ و $b$مان یک ضریب scaler (منبسط-منقبض کننده) می‌خورد. از آنجایی که خیلی راحت از شکل می‌توانید حدس بزنید که مقدار اصلی $a$ باید $\frac{4\sqrt{2}}{2}$ باشد، پس مقدار این ضریب $\sqrt{2}$ است. پس داریم $a=2\sqrt{2}$ و $b=\sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6}$. در آخر مساحت بیضی برابر بود با $\pi ab$، پس $S=4\pi\sqrt{3}$. و حجم خواسته‌شده؛ $$\frac{1}{3}(4\pi\sqrt{3})(\frac{3}{\sqrt{2}})=2\pi\sqrt{6}$$

توسط salar
کلید مسئله اصل کاوالیری و بیضی بودن سطح قائده بود.
از طرف سر مخروط هم میتوان با صفحه ای برشی دیگر زد و در این صورت مسئله کمی سختر بنظر میاد.
توسط salar
ویرایش شده توسط salar
–1
مساحت بیضی را بررسی کنید.
مساحت بیضی:
$$2\sqrt{6} \pi$$
توسط AmirHosein
@salar چگونه به این اعداد رسیدید؟ هر دو عدد جالب هستند. مساحتتان برابر با حجمی است که ارائه شده است و ارتفاع‌تان «بعلاوهٔ یک» دارد، فکر نکنم در صورت کسری که برای محاسبهٔ ارتفاع آورده‌ام عاملی دارای جذر دو بتوان نشاند که نتیجه جمع گنگ و گویایی بشود.
توسط salar
+1
از ارتفاع فاکتر اشتباه گرفته بودم
ارتفاع محاسبه شده درست است ولی برای مساحت بیضی که فرمول مشخص است پاسخ را میگذارم بررسی کنید
توسط salar
حال کدام پاسخ درست است تا انتخاب کنم؟
لطفا نظر دهید.
ممنون
0 امتیاز
توسط salar
ویرایش شده توسط salar

برای قطر بزرگ بیضی $2b$:

$$2b=AC=\sqrt{(4-0)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{2}$$

برای قطر کوچک بیضی $2a$:

ابتدا مرکز ثقل بیضی را میابیم و دایره گذرا از مرکز ثقل و موازی دایره مخروط کامل با بیضی یک پاره خط مشترک دارد که وتر دایره محسوب میشود.

$$\frac{(A+C)}{2}=(2,4)$$ $$a^2=1 \times 3 \rightarrow a=\sqrt{3}$$

مساحت بیضی:

$$S=ab\pi=2\sqrt{2} \sqrt{3} \pi=2\sqrt{6} \pi$$

ارتفاع مخروط ناقص:

$$h=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

حجم مخروط ناقص:

$$V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{2\sqrt{6} \pi \times 3}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{3} \pi$$
توسط salar
چون محاسبات دایره راحتتر است و دایره و بیضی یک پاره خط مشترک دارند که همان قطر کوچک بیضی است.
توسط AmirHosein
@salar چرا باید زاویهٔ بین دو پاره‌خط وصل‌کنندهٔ نقاط برخورد بیضی و دایره به مرکز دایره ۹۰ شود؟
تعریف یک وتر دایره این است «پاره‌خطی که دو انتهایش بر روی محیط دایره باشد»، برای بدست آوردن درازای وتر با کمک اندازهٔ شعاع دایره، باید زاویهٔ بین دو شعاع متصل به دو انتهای وتر را بدانید!
توسط salar
چون در صفحه بیضی قطر کوچک و بزرگ بر هم عمودند و قطر کوچک بر صفحه $AHD$ عمود است پس بر هر خطی در این صفحه که نقطه مشترک با قطر کوچک دارد عمود است در نتیجه قطری که منظور کرده ایم در این صفحه است و با قطر کوچک بیضی نقطه مشترک دارد.
توسط AmirHosein
@salar پیشنهاد می‌کنم یک مخروط کاغذی درست کنید و چند تا بیضی متفاوت با قطع دادن صفحه‌های دلخواه رویش رسم کنید و ببینید که قطر کوچک بیضی‌ها الزاما با مرکز دایره‌های کوچکی که می‌گوئید زاویهٔ قائمه نمی‌سازند. موفق باشید.
در مورد استدلال‌تان هم چند تا پاره‌خط بر هم عمود هستند ولی نتیجه‌ای پیرامون پاره‌خط‌‌های واصل انتهای قطر کوچک بیضی به رأس دایرهٔ کوچکتان نداده‌اند. خودتان دیدگاه‌تان را بخوانید می‌بینید چیزی در مورد حکم‌تان نیاورده‌اید. لطفا پیش از دیدگاه بعدی‌تان یک زمانی وقفه بیندازید و متن‌تان را پیش از قرار دادن سبک‌سنگین کنید. @admin @fardina @erfanm
توسط salar
دقیقا همین کار را قبل از پاسخ دادن انجام دادم و میدانم که شما هم انجام داده اید ولی چرا به نتیجه مشترکی نمیرسیم؟ نمیدانم؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...