محاسبه حجم هرم ناقص با داشتن نسبت قاعده ها و ارتفاع

Question

یکی از فراعنه مصر طرح یک هرم باشکوه با ارتفاع ۱۰۰متر را داد که اورا پس از مرگ در آن دفن کنند.معمارهرم هنگامی که ارتفاع هرم به ۷۵ متر رسید،دست از کار کشید و هرم را با یک سقف مسطح رها کرد.اورا زنده به گور کردند!اما اگر به نسبت کاری که انجام داده بود به او دستمزد می دادند چه کسری از کل دستمزد توافق شده را باید به او پرداخت کرد؟

Comments

به نظرم اطلاعات کافی نیست!

---

سوال مسابقات ریاضی انگلستان هست.جوابش رو ۶۳/۶۴نوشتن

---

ممکنه درترجمه کم وکاستی باشه یا شکلی ارائه شده باشه که نیومده

Answer 1

فرض کنیم دوستان همچون من فرمول حجم هرم را فراموش کرده‌اند. خیلی راحت با استفاده از شکل زیر و اینکه حجم هرم برابر حدِ جمع ضرب مساحت مربع در درازای قسمت جزئی ارتفاع هرم می‌شود که این مربع‌ها اندازهٔ یالشان متناسب با فاصله‌شان از نوک هرم است، زمانی که این قسمت‌های جزئی به صفر میل کنند، از یک انتگرال فرمول حجم هرم را می‌توانید بدست بیاورید.

فرض کنید فرمولِ یک هرم با قاعدهٔ مربع با یال به درازای $L$ و ارتفاع به درازای $h$ را می‌خواهید.

$$\int_0^h(\frac{y}{h}L)^2dy=\frac{L^2}{h^2}\int_0^hy^2dy=\frac{L^2}{h^2}(\frac{h^3}{3}-0)=\frac{L^2h}{3}$$

نسبتی که شما می‌خواهید نسبت حجم شکلی است که تفاضل کل هرم (با ارتفاع ۱۰۰) و هرمی با ارتفاع $۱۰۰-۷۵=۲۵$ است، به حجم کل هرم.

اکنون نسبت خواسته‌شده را می‌یابیم.

$$\frac{\frac{100a^2}{3}-\frac{25(\frac{25}{100}a)^2}{3}}{\frac{100a^2}{3}}=\frac{100-25(\frac{25}{100})^2}{100}=\frac{(100)^3-(25)^3}{(100)^3}=\frac{984375}{1000000}=\frac{63}{64}$$

Comments

@AmirHosein
ویرایش کردم عکس رو قرار دادم . امیدوارم بپسندید :)

---

@saderi7 دستتان درد نکند. ^_^
صرفا برای سایر دوستان اشاره کنم که اگر جهت محور هرم را در هنگام محاسبهٔ انتگرال به سمت نوک هرم می‌گرفتید مشکلی پیش نمی‌آمد بلکه در انتگرال به جای $\frac{y}{h}L$ می‌بایست $\frac{h-y}{h}L$ می‌گذاشتید که در آخر به یک پاسخ می‌رسید.